二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
例4、已知3 \* MERGEFORMAT 1F 为椭圆12222=+by a x 的焦点，过3 \* MERGEFORMAT 1F 的直线与椭圆交于3 \* MERGEFORMAT A 、3 \* MERGEFORMAT B 两点，求证：||1||111BF AF +等于常数。
例5、已知椭圆12222=+by a x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点 3 \* MERGEFORMAT P 为其上的一点，3 \* MERGEFORMAT α∠21=PF F ，求 3 \* MERGEFORMAT 21PF F Δ的面积。
变式1、椭圆14922=+y x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点3 \* MERGEFORMAT P 为其上的动点.当3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F 为钝角时，点3 \* MERGEFORMAT P 横坐标的取值范围是___________.变式2、椭圆x y M 2249241+=上有一点，椭圆的两个焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，若3 \* MERGEFORMAT 21MF MF ⊥，则3 \* MERGEFORMAT 21ΔMF F 的面积是___________.例6、椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．变式： 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．三、课后练习1、已知椭圆 3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x 长半轴的长等于焦距，且 3 \*MERGEFORMAT 4=x 为它的右准线，椭圆的标准方程：______________________________.2、已知3 \* MERGEFORMAT P 是椭圆3 \* MERGEFORMAT 13610022=+y x 上的一点，若3 \* MERGEFORMAT P 到椭圆右准线的距离是3 \* MERGEFORMAT217，则点3 \* MERGEFORMAT P 到左焦点的距离是 （ ）3 \* MERGEFORMAT 516.A 3 \* MERGEFORMAT 566.B 3 \*MERGEFORMAT 875.C 3 \* MERGEFORMAT 877.D 3、在椭圆 3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x 上取三点，其横坐标满足 3 \*MERGEFORMAT 2312x x x =+，三点与某一焦点的连线段长分别为 3 \* MERGEFORMAT321,,r r r ，则3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 满足 （ ）3 \* MERGEFORMAT A .3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 成等差数列 3 \* MERGEFORMAT B .3 \* MERGEFORMAT321211r r r =+ 3 \* MERGEFORMAT C .3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 成等比数列 3 \* MERGEFORMAT D .以上结论全不对4、曲线3 \* MERGEFORMAT 1422=+my x 的离心率3 \* MERGEFORMAT e 满足方程3 \*MERGEFORMAT 025-22=+x x ，则3 \* MERGEFORMAT m 的所有可能值的积为（ ） 3 \* MERGEFORMAT 36.A 3 \* MERGEFORMAT 36-.B 3 \* MERGEFORMAT 192-.C 3 \* MERGEFORMAT 198-.D5、椭圆3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x ，过右焦点3 \* MERGEFORMAT F 作弦3 \* MERGEFORMAT AB ，则以 3 \* MERGEFORMAT AB 为直径的圆与椭圆右准线 3 \*MERGEFORMAT l 的位置关系（ ）3 \* MERGEFORMAT .A 相交 3 \* MERGEFORMAT .B 相离 3 \* MERGEFORMAT .C 相切 3 \* MERGEFORMAT .D 不确定6、（2000年全国高考题）椭圆 3 \* MERGEFORMAT 14922=+y x 的焦点为 3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点3 \* MERGEFORMAT P 为其上的动点，当3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F 为钝角时，点3 \* MERGEFORMAT P 横坐标的取值范围是___________________.7、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴3 \* MERGEFORMAT AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，3 \* MERGEFORMAT F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =_______________.:///quiz/images/201107/38/d88f3769.png"8、在椭圆x y 222591+=上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
9、椭圆y a x b a b F c F c c 22221210000+=>>->()()()()的两焦点为，，，，离心率e =32，焦点到椭圆上点的最短距离为23-，求椭圆的方程。
10、已知椭圆的焦点是 3 \* MERGEFORMAT )1,0(),1-,0(1F F ，是直线3 \* MERGEFORMAT4=y 是椭圆的一条准线，①求椭圆的方程；②设点3 \* MERGEFORMAT P 在椭圆上，且3 \* MERGEFORMAT 1-21=PF PF ，求3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F11、已知椭圆的焦点是3 \* MERGEFORMAT )0,1(),0,1-(21F F ，3 \* MERGEFORMAT P 为椭圆上一点，且3 \* MERGEFORMAT 21F F 是3 \* MERGEFORMAT 1PF 和3 \* MERGEFORMAT2PF 的等差中项，①求椭圆的方程；②若点3 \* MERGEFORMAT P 在第三象限，且3 \* MERGEFORMAT °=∠12021F PF ，求3 \* MERGEFORMAT 21tan PF F .12、如图，已知曲线49360022x y x y +=>>()，，点3 \* MERGEFORMAT A 在曲线上移动，点3 \* MERGEFORMAT )4,6(A ，以3 \* MERGEFORMAT AC 为对角线作矩形3 \* MERGEFORMAT ABCD ，使3 \* MERGEFORMAT x AB 轴，3 \* MERGEFORMAT y AD 轴，求矩形3 \* MERGEFORMAT ABCD 的面积最小时点3 \* MERGEFORMAT A 坐标。
思考题、在椭圆x y t2281+=内有一点3 \*MERGEFORMAT )1,2(A ，过点3 \* MERGEFORMAT A 的直线3 \*MERGEFORMAT l 的斜率为－1，且与椭圆交于3 \* MERGEFORMAT B 、3 \* MERGEFORMAT C 两点，线段3 \* MERGEFORMAT BC 的中点恰好是3 \* MERGEFORMAT A ，试求椭圆方程。