高一函数复习一、函数的概念与表示1、映射映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

注意点：（1）对映射定义的理解；（2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ).【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.A . f ：x →y ＝12x B . f ：x →y ＝13x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、函数构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ）A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,11lg)(--+=-+=x x x g x x x f C 、 vvv g u u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个【变式练习】1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A . 1,xy y x==B . 211,1y x x y x =-+=-C . 33,y x y x ==D . 2||,()y x y x ==2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）【巩固练习】xx x x1 2 1 1 1 22 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y yyy3 OO OO1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、⑸ 2、设x 取实数，则f (x )与g (x )表示同一个函数的是（ ）A 、x x f =)(，2)(x x g = B 、x x x f 2)()(=，2)()(x x x g = C 、1)(=x f ，0)1()(-=x x g D 、39)(2+-=x x x f ，3)(-=x x g3、下列四个函数中，与y =x 表示同一函数的是（ ）A . y = (x )2B . y =33xC. y = 2xD. y = xx 24．下列图象中表示函数图象的是 （ ）5．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈，使B 中元素31y x =+和A中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5二、函数的解析式与定义域1、函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ● 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

【例2】已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x● 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例3】已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x● 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

【例4】已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g● 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

【例5】设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f解 x xf x f =-)1(2)( ①显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=【例6】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ②解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， xx x g -=21)(● 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

【例7】已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

【例8】设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a ,都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 【变式练习】1、已知11112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx f ，求()x f 的解析式。

（换元法）2、设二次函数()x f y =的最小值等于4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式。

（待定系数法）3、已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；4、已知f (x －1)=3x －1，求()f x ；5、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；6、已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．7、已知()x x x f21+=+，求()x f 。

8、已知)(x f 是一次函数，且()()14-=x x f f ，求)(x f 的解析式。

9、设)(x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,，有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的表达式。

【巩固练习】1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 2．函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 4．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 5．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 6．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f =_________.7．已知函数1()1xf x x -=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式．8．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.2、求函数定义域的主要依据：（1）()f x 是整式时，定义域是全体实数．（2）()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．（3）()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． （4）零（负）指数幂的底数不能为零． （5）对数函数的真数必须大于零．（6）指数函数、对数函数的底数必须大于零且不等于1.（7）若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．（9）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求函数定义域的两个难点问题1、已知()f x 的定义域是[－2，5]，求(23)f x +的定义域。