二次函数题 选择题：１、y=(m-2)x m2- m 是关于ｘ的二次函数，则m=( ) A -1 B 2 Ｃ －１或2 D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y ＝ax ２＋b ｘ+c （a ≠0)模型的是( ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系Ｂ 我国人中自然增长率为１％，这样我国总人口数随年份变化的关系 Ｃ 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2）2+2 B y=—( x+2)２+2 C ｙ＝— （ ｘ＋2）2+2 D y=—( x-2)2—2 ５、抛物线y=21 x 2-６x+2４的顶点坐标是()A （—6,—6)B (—６,6）C (6,6)D （6,—6) 6、已知函数ｙ＝a ｘ２+bx+ｃ,图象如图所示，则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a ＋c 〈b ③ a+b+ｃ 〉0 ④ ２ｃ〈3ｂ A １ B 2 Ｃ ３ Ｄ ４ 7、函数ｙ=ａx ２-bx+c(a ≠0)的图象过点(-１,0）,则cb a + ＝c a b + =ba c+ 的值是（ )A -1B 1C 21D －218、已知一次函数ｙ= ax+ｃ与二次函数y=ａx 2+bx+ｃ（a ≠0)，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）Ａ Ｂ C D二填空题:13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2ｍx ＋m 上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y ＝a ｘ2＋b ｘ＋c （ａ≠０）的对称轴为直线x ＝2,最小值为-2，则关于方程ax ２＋bx+ｃ=－２的根为————————————。
１7、抛物线y=（k ＋１)x 2+k 2-9开口向下，且经过原点,则k=—————————解答题：(二次函数与三角形)1、已知:二次函数ｙ＝x 2＋ｂx+c ，其图象对称轴为直线x ＝1，且经过点（2，﹣)．（1）求此二次函数的解析式.（2)设该图象与ｘ轴交于Ｂ、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△ＥBC 的面积最大，并求出最大面积．1 —1 0xyyx-1xyyxyxy2、如图,在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C (0,4),顶点为(１，错误!). (1)求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点Ｄ，试在对称轴上找出点P ，使△C ＤP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点Ｅ是线段ＡB 上的一个动点（与A 、B 不重合)，分别连接AC 、ＢC ,过点E 作ＥF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为Ｓ，S 是否存在最大值?若存在,求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图,一次函数y ＝－4ｘ-4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、Ｃ两点，抛物线ｙ＝43x 2+bx ＋c的图象经过A 、C 两点,且与x 轴交于点Ｂ． （1）求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为D ,求四边形A ＢD Ｃ的面积；（3)作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、B Ｃ于点M 、Ｎ.问在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形?如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标;如果不存在,请说明理由．(二次函数与四边形）4、已知抛物线217222y x mx m =-+-． (1)试说明：无论ｍ为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x =3时,抛物线的顶点为点C ，直线y =ｘ－1与抛物线交于A 、Ｂ两点,并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形AC ＰD 是正方形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由；②平移直线ＣD ,交直线AB 于点Ｍ,交抛物线于点Ｎ，通过怎样的平移能使得C 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形．COAyxDB C OAyxDB MNl :x ＝n5、如图，抛物线ｙ＝mx 2-１1mx +2４ｍ (m <0) 与x 轴交于Ｂ、C 两点(点B 在点C 的左侧）,抛物线另有一点Ａ在第一象限内,且∠BAC ＝90°.(1)填空：O Ｂ=_ ▲ ，OC ＝＿ ▲ ；(2）连接OA ，将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC ,当四边形OAC Ｄ是菱形时,求此时抛物线的解析式；(３)如图２,设垂直于x 轴的直线l ：ｘ=ｎ与（2）中所求的抛物线交于点M ,与ＣＤ交于点Ｎ,若直线l 沿x 轴方向左右平移，且交点Ｍ始终位于抛物线上Ａ、Ｃ两点之间时,试探究：当n 为何值时，四边形A ＭＣN 的面积取得最大值,并求出这个最大值.６、如图所示,在平面直角坐标系中，四边形ＡBCD 是直角梯形,BC ∥AD,∠BA Ｄ=９0°，ＢC 与y 轴相交于点M,且M 是ＢC 的中点,Ａ、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，)，B （ 1 2-，),D （３，0）.连接ＤM,并把线段DM 沿DA 方向平移到ＯN.若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1)求抛物线的解析式．(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=ＰC,若存在，求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由．(3)设抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｅ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE-Q Ｃ|最大?并求出最大值.７、已知抛物线223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧）,与ｙ轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(１）求A 、B 的坐标；（2)过点D 作DH 丄y 轴于点Ｈ,若ＤＨ=ＨC ，求ａ的值和直线CD 的解析式;（3)在第(２)小题的条件下，直线ＣD 与ｘ轴交于点E,过线段OB 的中点N 作N Ｆ丄x 轴,并交直线ＣD 于点F ，则直线N Ｆ上是否存在点Ｍ,使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点Ｏ的距离?若存在,求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由．(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax ２+bx ＋c （ａ≠0)的图象经过M （1，0)和N （３,０)两点，且与ｙ轴交于Ｄ(0，3），直线l 是抛物线的对称轴．1)求该抛物线的解析式．2)若过点Ａ（﹣1,0)的直线AB 与抛物线的对称轴和ｘ轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点Ｐ在抛物线的对称轴上，⊙Ｐ与直线AB 和ｘ轴都相切，求点P 的坐标.９、如图，y 关于x 的二次函数y ＝﹣（ｘ+ｍ)（x ﹣3ｍ)图象的顶点为M,图象交ｘ轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心为C.定点E 的坐标为(﹣3，0),连接ＥD.（m ＞0） （１)写出A 、Ｂ、D 三点的坐标；（2）当m 为何值时M 点在直线E Ｄ上?判定此时直线与圆的位置关系;（３)当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图。
1０、已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、Ｂ两点.与y 轴交于点C.其中AI(1,0),C(0,3-).(１)（３分)求抛物线的解析式;（2)若点Ｐ在抛物线上运动(点P 异于点A ）.①（4分)如图l ．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点Ｐ的坐标；②（5分)如图2．当∠PCB=∠ＢＣA 时,求直线ＣP 的解析式。
答案:１、解:(1）由已知条件得，(2分)解得b=﹣,ｃ=﹣,∴此二次函数的解析式为ｙ=x 2﹣x ﹣；（1分）（2）∵x 2﹣x ﹣=0，∴x 1=﹣１，x ２=3，∴B(﹣1，０),C （3，0）,∴ＢC=4，（1分)∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大,∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(１,﹣3）,(1分)∴△EBC 的面积＝×4×3=6.(1分)2、（1）∵抛物线的顶点为(1,＼f(9,２)) ∴设抛物线的函数关系式为y =a ( x －1） ２+错误!∵抛物线与ｙ轴交于点C （0,4)， ∴ａ (0－1)2＋＼f （9，２）=4 解得ａ=-＼f(1，２)∴所求抛物线的函数关系式为y =-＼f(1,2)( x －1) ２+错误!（2)解:P 1 (1，＼r(,17)），P 2 (1，-，17)， Ｐ3 （1,８),P ４ (1,178）,(3）解:令－错误!（ x －1) 2+错误!＝0，解得x １＝-2，x 1＝4∴抛物线y ＝-错误!( x －1） 2+错误!与x 轴的交点为A (-２,0) Ｃ （4,0） 过点Ｆ作FM ⊥ＯＢ于点Ｍ,∵E Ｆ∥AC ,∴△BEF ∽△BAC ,∴MFOC＝＼ｆ(ＥB ,AB ) 又 ∵OC ＝4，AB =6,∴MF ＝错误!×ＯC ＝错误!EB设E 点坐标为 (ｘ，0）,则ＥB =４-x ,MF ＝＼f(2,3) (4-x ) ∴S =Ｓ△BCE -S △BEF ＝错误! ＥB ·OC -错误! EB ·MF ＝错误! ＥＢ(ＯC －M Ｆ)=＼f(1,2） (4-x )[4-２３(4-x ）]=－错误!x 2＋错误!x +错误!=-错误!( x －1) 2＋3∵a ＝-＼f(1,3)＜0,∴S 有最大值 当x ＝1时,S 最大值=3 此时点E 的坐标为 (１,0） 3、（１)∵一次函数y ＝-４x -4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,∴A (－１,0) C （0，-４） 把Ａ （-１,0) C (0，-4)代入ｙ=错误!x 2+bx +c 得 ∴错误! 解得错误! ∴y ＝错误!ｘ2-错误!x －4(2)∵ｙ=错误!x 2-错误!ｘ－４＝错误!（ x -1) 2－错误! ∴顶点为Ｄ（１,－错误!） 设直线DC 交x 轴于点E 由D (１，-错误!）C (０，-４)易求直线CD 的解析式为y ＝－错误!x －4易求E (-3，0),B （3,0） Ｓ△EDB ＝1２×6×＼ｆ(１６,３)=16S △E ＣA =＼ｆ（1,２)×2×4＝4 S 四边形ＡBDC ＝S △ED Ｂ-S △E ＣA ＝12 (3)抛物线的对称轴为x =-1做BC 的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点D 3 易求AB 的解析式为y ＝－错误!x +错误!∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥A Ｂ设Ｄ3E 的解析式为y =-３x +ｂ∵D ３E 交ｘ轴于（-1，0)代入解析式得b =-＼r(,3), ∴y ＝－＼r(,3)ｘ-错误!把ｘ＝-１代入得y =0 ∴D 3 （-1，０), 过B 做B Ｈ∥x 轴，则BH =1错误!在Ｒt △D 1ＨＢ中，由勾股定理得D 1Ｈ=错误! ∴D １（－1,错误!＋错误!)同理可求其它点的坐标。