第十二章选修2第十二章概率与统计综合能力测试（n）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）答案：C解析：高一、高二、高三三个年级人数比为？？22 2!,按分层抽样的要求，抽取的样又知样本容量为70 ,故三个年级分别应抽取27人、22人、21人.3. 已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.25的范围是A.5.5 〜7.5C. 9.5 〜11.5答案：D解析：统计结果为：5.5〜7.5,2个数据；7.5〜9.5,6个数据；9.5〜11.5,7个数据；11.5〜13.5,5个数据.因此频率为0.25的范围是D.4. 在样本的频率分布直方图中，一共有m（m》3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m- 1个小矩形面积和的£且样本容量为100,则第3组的频数是（）4A.0.2C.20答案：B.25D.以上都不正确C解析：第3组的频率是£样本容量为100,故第3组的频数是100 X4= 20.选C.5 51.（2019成都市高中毕业班第一次诊断性检测题）某学校有教职工100人，其中教师80人, 职员20人.现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师的概率为A.C. 2 8A80A20 A1008 2C80C200 B.D.8 2A80A20A1002 8C80C20解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是人中恰有8名教师的选法种数是C8o c2c种，因此所求的概率等于c：0 0种，其中所选的选C.102•新华中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有方法，抽取容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取420人，用分层抽样的（）A. 28 人，24 人，18 人C.26 人，24 人，20 人答案：BB. 27 人，22 人，21 人D.25 人，24 人，21 人本中三个年级人数比应保持不变,B.7.5 〜9.5D.11.5 〜13.5 C：00，5. （2019南昌市高三年级调研测试卷）为了解一片经济林的生长情况, 株树木的底部周长（单位：cm）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图株树木中，底部周长小于110cm的株数是随机测量了其中100（如图），那么在这100A.30 C.70 答案：C解析：依题意得在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是100X (0.01 + 0.02 + 0.04) X 10= 70,选 C.总结评述：有关统计图表的考查，主要要求考生能够准确地识图6. 老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班 40名同学(其中男同学28名，女同 学12名)采取分层抽样的方法， 抽取一个样本容量为 10的样本进行研究，某女同学甲被抽到 的概率为 ( )1 1 A — B — A. 50 1 210 1 1 C. D.- 5 4 答案：D 解析：因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概 10 1率P = 70=匚，故应选D.40 417•设随机变量 E 〜Ng, d ),且 P( M 1) = 2，P(E>2) = p ，则 P(0< 匕 1)等于()1 A.gp B.1 — p 1C.1 — 2pD.2— p答案：D1解析：由题意 P( M 1) =1 ,.••□= 1.1 1又 P(0 < M 1) = P(1 < M 2) = P(M 2)— P( M 1) = 1 — p — -=2— p. 8.已知某一随机变量 E 的概率分布列如下，且 E E= 6.3,则a 的值为 ( )A.5 C.7答案：C解析：由题意得0.5+ 0.1 + b = 1,4X 0.5 + a x 0.1 + 9X b = 6.3，求得a 的值为7,故选C.9.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体 师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 80人，贝U n 的值是 ( ) A.193 C.191 答案：B.192 D.190 B1 aC.2a 答案：BE4 a 9 P0.5 0.1 bB.1 — aD.1 — 2aD.80 B.6 D.8解析：由="c，得n = 192，故选B.200 + 1200+ 1000 100210.(2019昆明质检)设随机变量E服从正态分布N(2, d),若P( >c)= a，贝U P( >4 —c) 等于()解析： c — 2 c — 2 P( A c)= 1 — F(c)= 1— 0( T )= a , 0( T ) = 1 — a ,贝y P( E>4— c)= 1— F(4 — c)2 — c c —2 =1 —①（）=0（） = 1 — a ,故选 B.（T （T11.（2019上海）在发生某公共卫生事件期间， 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发 生大规模群体感染的标志为“连续 10天，每天新增疑似病例不超过 7人”.根据过去10天甲、 乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）A. 甲地：总体均为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为 1,总体方差大于 0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为 2，总体方差为3 答案：D解析：逐项验证中，由0,0,024,4,4,4,4,8可知，A 错；由0,0,0,0,0,0,0,0,2,8可知，B 错; 由 0,0,1,1,2,2,3,338 可知，C错.D中"X=2.(X 1- 2)2+(X 2- 2)2+…+(X 10-2)210即(X 1 — 2)2+ (X 2 — 2)2+ …+ (X 10— 2)2= 30.显然(X i — 2)2< 30(i = 1,2, D.212.（2019湖南衡阳模拟）已知随机变量E 服从正态分布 N （2, T ） ,P （EW 4）= 0.84,则P （夫0） 等于 （）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84 答案：A解析：p(葺 4)= F(4) = 0( ) =0(勺=0.84,0— 2 2••• P(長 0) = F(0)=①(一^)= 0( — 1 — =1 — 0.84= 0.16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
） 第H 卷（非选择题共90分）13. 某学校共有6个年级，现在采用分层抽样的方法从全校 3000名学生中抽取一个容量 为150的样本进行一项调查.若该学校高中三年级共有 600名学生，则从高中三年级抽取的学 生人数应该为 _________________ .答案：30解析：3000> 150 = 3014.作为首批“中国最佳旅游城市”的成都，市民们喜欢节假日到近郊休闲和旅游 .去年, 相关部门对城东“五朵金花”之一的某景区在“五一”黄金周中每天的游客人数作了统计， 其频率分布如下表所示：=3.…,10),即X i < 7.故选这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为_____________ 万元•答案：48解析：客人数量多的一天为5月5日，营业额为030X 8= 6 X 8 = 48(万元).0.0515. (2019辽宁师大附中4月)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是4答案：41113 4 解析：向上的数之积为4、2、1、0的概率分别为111 3,则所求的数学期望是4,36 9 9 4 94故填416. (2019 江苏一测)若X1, X2, X3,…，X2019, X2019 的方差为3,则3(X1 - 2),3(X2—2)，…3(X2019—2),3(X2019—2)的方差为_________ .答案：27解析：由公式D(a汁b)= a2D E得3(X1 —2),3区一2),…，3畑9—2),3(2019—2)的方差为27,故填27.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
)17. (本小题满分10分)为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为40的样本，检测结果为一等品8件，二等品18件，三等品12件，次品2件.(1) 列出样本的频率分布表；(2) 画出表示样本频率分布的条形图；(3) 根据上述结果，估计此种新产品为二等品或三等品的概率是多少？解析：(1)样本的频率分布表为：⑵样本频率分布的条形图如下图三竽品秋品产乩尊毬(3)根据频率分布表，该产品二等品或三等品的频率为0.45+ 0.3 = 0.75.根据上述结果可以估计，此种新产品为二等品或三等品的概率为0.75.18. (2019江西)(本小题满分12分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率是丄2若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助，若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令E表示该公司的资助总额.(1) 写出E的分布列；(2) 求数学期望E E解析：(1) E的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.1 3 15 5 15 3P(E= 0)=刖P(E= 5) = 32, P(E= 10)=云,p(= 15)=晶，P(E= 20)=乔p( = 25) = 32,1P(E 30)= 64.则E 的分布列为:3 15 ⑵ E E=5 X 32+10X 64+15X 16+20 X 65 + 25X 332+ 30 X 64=1519.(本小题满分12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的 有n 个(n = 1,2,3,4).现从袋中任取一球，E表示所取球的标号. (1) 求E 的分布列、期望和方差；(2) 若 n= a + b ， E n= 1， D n= 11，试求 a ， b 的值. 解析：(1) E 的分布列为：1113 1E E = 0X —+ 1 X 十 2X + 3X + 4X-= 1.5.2 20 10 20 5 2 1 2 1 2 1 23 2 1D E = (0 - 1.5)3 4 5X 1 + (1 - 1.5)2X 20+ (2 - 1.5)2X 附+ (3 - 1.5)2 X 話 + (4 - 1.5)2X 2.75. (2)由 D n= a 2DE,得 a 2x 2.75= 11,即 a = ±2.又 E n = aE E+ b,所以当 a = 2 时，由 1 = 2X 1.5 + b ，得 b = — 2.当 a =— 2时，由 1 = — 2X 1.5+ b ，得 b = 4.•••a =2,b =— 2 总结评述：本题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念以及基本的运算 能力.20. (本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行 6场比赛，每场均决出胜负， 设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是(1) 求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； ⑵求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了 3场的概率;(3)求这支篮球队在 6场比赛中胜场数的期望和方差 解析：(1)p =(1—3)2 •=27. (2) 6场胜3场的情况有 C ：种. 3 1 3 1 3 1 _8 160 •• = C 6(3) (1 — 3) = 0X 27X27 = 729. 1⑶由于E 服从二项分布，即E 〜B(6，3)，(3) 在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为 2，方差为421. (2019宁夏、海南)(本小题满分12分)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过 短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人).现用分层抽样方 法(按A 类、B3 11 4E E = 6X —= 2，DE= 6 X —X (1 —一)=一5 3 3 3'「=—2， 即为所求.b = 413.答：(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为⑵这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为_4 27； 160 729'1类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).可供查阅的(部分)标准正态分布表 ①(X 0)= P(x v X 0)(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为B 类工人； ⑵从A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1和表2. 表1:表2(1)先确定x 、y ,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A 类工人中个体间差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)(2)分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).解析：(1)甲、乙被抽到的概率均为 秸，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到111相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 P = — X —=-—.10 10 100(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名.故 4+ 8 + x + 5+ 3= 25,得x = 5, 6+ y + 36+ 18= 75,得 y = 15. 频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小48 5 5 3② X A =25X 105+25X 115坛X 125+25X 135+25X 145=123，X 115+ 15 X 125+ 36 X 135+ 18 X 145= 133.8 , B 75 75 75 75x = 金X 123+卧 133・8=131工A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均10.044打.时 晌 2 0.026 0.024 0.020U.0I6c.cwe UM] 110 12m 130 140 I 閒牟了■= 8&力 腆工A 生产施力的*t 拿分布直方圈0.036---T -n-0.032 —八卜■十0.020 ・・・■・* no 曲-一十・十 0.020--—r»-i-0,012 ・■*■*■ 0.000——「十OVDAt I- * ■ -.RS -i -I- S° I ib~[2l071S5'l«M L力峨I ：人生&能山的按卓菇布应方冊数的估计值分别为123,133.8和131.1.22. (本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(1) 试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2) 若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？解析：（1）设参赛学生的分数为因为旷N（70,100）,由条件知，90 - 70P(驴90) = 1-P( M 90) = 1- F(90) = 1 —①(^0 )= 1 —①(2) = 1 —0.9772 = 0.0228. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%.因此，参赛总人数约为嘉-526(人).0.0228(2)假定设奖的分数线为x分，则P(驴x)= 1—P(Ev x)x—70 50=1 —F(x)= 1 —①()= =0.0951.10 丿526x—70查表得x~17- = 1.31，解得x = 83.1.故设奖的分数线约为83分.。