课时作业(六十七)一、选择题1．(2011·沧州七校联考)若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－8答案 B解析 Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 121(12)12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a ×b ＝( )A.0.2 C ．0.15 D ．0.4答案 C解析 由分布列的性质得0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，∴a ＋b ＝0.8 ① 又由Eξ＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3 ② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5， ∴a ×b ＝0.3×0.5＝0.15.3．已知离散型随机变量ξ，η，满足ξ＋η＝8，且ξ～B (10,0.6)，则Eη，Dη分别是( ) A ．6、2.4 B ．2、2.4 C ．2、5.6 D ．6、5.6 答案 B解析 由均值、方差的性质，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ， Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2，Dη＝D (8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4. 4．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B ．Eξ＝3.5，Dξ＝3512C ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5D ．Eξ＝3.5，Dξ＝3516答案 B5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝13，则Dξ的值是( )A.13B.23C.59D.79答案 C解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且Eξ＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13.联立三式得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴Dξ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59. 二、填空题7．若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a .若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案 0解析 依题意有a ＝1－13＝23，所以Eξ＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6，又Dξ＝13(m －2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，Dξ取最小值为0. 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．答案 12，25解析 Dξ＝100P (1－P ) ≤100·(P ＋1－P 2)2＝25当且仅当P ＝1－P .即P ＝12时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．答案 (0.1＋p )a解析 设要求投保人交x 元，公司的收益额ξ作为随机变量，则 p (ξ＝x )＝ 1－p ，p (ξ＝x －a )＝p ， 故Eξ＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，所以 x －ap ＝0.1a ∴x ＝(0.1＋p )a . 三、解答题10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.解析 P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝0.9×0.8×0.7＝0.504；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006. ∴Eξ＝1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6，Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62＝0.82－0.36＝0.4611．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率； (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝15；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P 1＝110＋15＋215＝1330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率P 2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝120＋115＋130＝320. 三人均没有出现轻微不良反应的概率P 0＝45×23×34＝25，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝5960.(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，P (ξ＝0)＝25，P (ξ＝1)＝1330，P (ξ＝2)＝320，P (ξ＝3)＝1－25－1330－320＝160.于是ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ＝0×25＋1×1330＋2×320＋3×160＝4760.12．甲、乙、丙三人组成一组参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)设团体总分为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析(1)设乙闯关成功的概率为P 1，丙闯关成功的概率为P 2，则由题意得⎩⎨⎧13P 1＝16，P 1·P 2＝15.解得P 1＝12，P 2＝25.即乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)由题意知，ξ的可能取值为0,2,4,6，且P (ξ＝0)＝(1－13)×(1－12)×(1－25)＝15；P (ξ＝2)＝13×(1－12)×(1－25)＋(1－13)×12×(1－25)＋(1－13)×(1－12)×25＝1330；P (ξ＝4)＝(1－13)×12×25＋13×(1－12)×25＋13×12×(1－25)＝310；P (ξ＝6)＝13×12×25＝115. 所以随机变量ξ的分布列为所以Eξ＝0×15＋2×1330＋4×310＋6×115＝3715.13．(2010·北京卷，理)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1(2)求p 、q 的值； (3)求数学期望Eξ.解析 事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”i ＝1,2,3，由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”，与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125.整理得pq ＝625，p ＋q ＝1.由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125. b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.14．(2010·福建卷，理)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.解析 (1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}． 由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13.P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：所以Eξ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.15．(2010·江西卷，理)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．解析 (1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6，P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为：(2)Eξ＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．。