【解析】【分析】（1）先判断出 a=﹣b，即可得出 AB=2a，再利用三角形的面积公式即可 得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出
直线 CD 和函数 y1= （x＞0）必有交点，根据点 A 的坐标确定出点 C，F 的坐标，进而得 出 FC，再判断 FC 与 2 的大小即可．
∴ ab＜0，a﹣b≠0，
∵ a+b≠0，
∴ 1=
，
∴ ab=3（舍）或 ab=﹣3，
即：ab 的值为﹣3；
（3）解：对大于或等于 3 的任意实数 a，CD 边与函数 y1= （x＞0）的图象都有交点． 理由：如图， ∵ a≥3，AC=2， ∴ 直线 CD 在 y 轴右侧且平行于 y 轴，
∴ 直线 CD 一定与函数 y1= （x＞0）的图象有交点， ∵ 四边形 ACDE 是边长为 2 的正方形，且点 D 在点 A（a， ）的左上方，
7．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B、与 y 轴交于点 A，与反比例函
数 y= 的图象在第二象限交于 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限内的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF．如果 S△ BAF=4S△ DFO ， 求点 D 的坐标．
∴ C（a﹣2， ），
∴ D（a﹣2， +2），
设直线 CD 与函数 y1= （x＞0）相交于点 F，
∴ F（a﹣2，
），
∴ FC=
﹣=
，
∴ 2﹣FC=2﹣
=
，
∵ a≥3，
∴ a﹣2＞0，a﹣3≥0，
∴
≥0，
∴ 2﹣FC≥0，
∴ FC≤2，
∴ 点 F 在线段 CD 上，
即：对大于或等于 3 的任意实数 a，CD 边与函数 y1= （x＞0）的图象都有交点．
2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化 而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理 想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如下图所示（其中 AB、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部 分）：
∴ 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段 AB 所
在的直线的解析式，和 C、D 所在双曲线的解析式；把 x1=5 时和
进行比较得到
y1＜y2 ， 得出第 30 分钟注意力更集中；（2）当 y1=36 时，得到 x1=8，当 y2=36，得到
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线 OA：y=x 和直线 AB：y=﹣
x+10，交于 C，D 两点，并且 OC=3BD． （1）求出双曲线的解析式； （2）连结 CD，求四边形 OCDB 的面积． 【答案】（1）解：过点 A、C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别是 M、E、F，
【答案】 （1）解：矩形 OABC 中，
，
，E 是 BC 中点，
点
.
点 E 在双曲线 .
上，
.
点 F 的横坐标为 4，且在双曲线
，即点
；
上，
（2）解：过点 E 做
轴于 H 点，
点
点
，
.
，
.
，
，
，
∽
.
，
，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据 E 点坐标求出 k 的值，而后把 F 点的横坐标代入反比例函数解
解得：m=1 或 m=0（舍去）
∴ C（3，3），
∴ k=9，
∴ 双曲线 y= （x＞0） （2）解：由（1）可知 D（9，1），C（3，3），B（10，0）， BF=1，
∴ OE=3，EF=6，DF=1，
∴ S 四边形 OCDB=S△ OCE+S 梯形 CDFE+S△ DFB
= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17， ∴ 四边形 OCDB 的面积是 17 【解析】【分析】（1）过点 A、C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别是 M、E、F，由直线 y=x
4．如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，﹣2）.
（1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3）若双曲线上点 C（2，n）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论.
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达 到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）解：设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1=k1x+20， 把 B（10，40）代入得，k1=2， ∴ y1=2x+20．
∵ A（﹣1，﹣2），∴
。
由题意知：CB∥ OA 且 CB= ，∴ CB=OA。 ∴ 四边形 OABC 是平行四边形。
∵ C（2，n）在
上，∴
。∴ C（2，1）。
∴
。∴ OC=OA。
∴ 平行四边形 OABC 是菱形。
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为
（k＞0），然后根据条件求出 A 点
坐标，再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式。（2）直接由图象得出正比例函数值 大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CB∥ OA
∴ CM= ，CN= ．
∴ MN= ﹣ = ．
同理 PM=m﹣ = ．
∴ S△ PMN= MN•PM= ∵ 1≤S△ PMN≤2，
∴ 1≤ ≤2． ∴ 4≤k≤8，
解法二：如图 3，
依题意可知双曲线
的“半双曲线”为
，
设点 M 的横坐标为 m，则点 M 坐标为（m， ），点 N 坐标为（m， ），
∴ 点 N 为 MC 的中点，同理点 P 为 MD 的中点． 连接 OM，
（3）如图 2，已知点 M 是双曲线 y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点 M 与 y 轴 平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 P，若△ MNP 的面积记为 S△ MNP ， 且 1≤S△ MNP≤2，求 k 的取值范围．
∵
，
∴ △ PMN∽ △ OCM．
∴
．
∵ S△ OCM=k，
∴ S△ PMN= ． ∵ 1≤S△ PMN≤2，
∴ 1≤ ≤2． ∴ 4≤k≤8． 【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义
∴ 双曲线 y= ，的“倍双曲线”是 y= ；
双曲线 y= 的“半双曲线”是 y= ．
故答案为 y= ，y= ； 【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利 用双曲线上的点设出 M 的横坐标，进而表示出 M，N 的坐标；方法一、用三角形的面积公 式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△ PMN 的面积，进而建 立不等式即可得出结论．
，解得 CE=3，
∴ 反比例函数解析式为 y=﹣
（2）解：设 D（x，﹣ ）， ∵ D 在第四象限， ∴ DF=x，OF= ，
设 C、D 所在双曲线的解析式为 y2= ， 把 C（25，40）代入得，k2=1000，
∴ 当 x1=5 时，y1=2×5+20=30，
当
，
∴ y1＜y2 ∴ 第 30 分钟注意力更集中．
（2）解：令 y1=36，
∴ 36=2x+20， ∴ x1=8 令 y2=36，
∴
，
∴
∵ 27.8﹣8=19.8＞19，
（3）若动点 D 在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段 DC 与线段 DB 之差达到最大 时，求点 D 的坐标．
【答案】（1）解：∵ tan∠ ABO= ，
∴ = ，且 OB=4， ∴ OA=2， ∵ CE⊥x 轴，即 CE∥ AO， ∴ △ AOB∽ △ CEB，
∴ = ，即 = ∴ C（﹣2，3）， ∴ m=﹣2×3=﹣6，
和 y=﹣x+10 可知∠ AOB=∠ ABO=45°，证明△ CEO∽ △ DEB，从而可知 = =3，然后设设 D（10﹣m，m），其中 m＞0，从而可知 C 的坐标为（3m，3m），利用 C、D 在反比例函 数图象上列出方程即可求出 m 的值．（2）求分别求出△ OCE、△ DFB△ 、梯形 CDFE 的面 积即可求出答案．
， 由 27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的
状态下讲解完这道题目.
3．平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 分别在函数 y1= （x＞0）与 y2=﹣ （x＜0）的图象 上，A、B 的横坐标分别为 a、b．
（1）若 AB∥ x 轴，求△ OAB 的面积； （2）若△ OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形，且 a+b≠0，求 ab 的值； （3）作边长为 2 的正方形 ACDE，使 AC∥ x 轴，点 D 在点 A 的左上方，那么，对大于或等
∴ OA2=a2+（ ）2 ， OB2=b2+（﹣ ）2 ， ∵ △ OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形， ∴ OA=OB， ∴ OA2=OB2 ，