x 2 3t
18、已知直线
x y x 3y
z 1 0 z30
平面
上，又知直线
y
1 t
z 3 2t
与平面
平行，求平面
的方程． 19、已知函数 y f (x) 是一阶微分方程 dy y 满 y(0) 1 的特解，求二阶常系数非齐次线
dx
性微分方程 y 3y 2 y f (x) 的通解．
江苏省 2013 年普通高校“专转本”选拔考试 高等数学 试题卷（二年级）
注意事项：
1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共 3 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在
试题卷和答题卡上的指定位置。
2
2
2
2
1 x2 sin 2x 1 x cos 2x 1 cos 2xdx 1 x2 sin 2x 1 x cos 2x 1 sin 2x C
2
2
2
2
2
4
16、令 x 2sin t, dx 2 cos tdt, x 0,t 0; x 2,t ， 2
则原式= 2 2 cos t
23、令 f (x) 2x 1 (1 ln x)2, f (1) 0.
f (x) 2 2(1 ln x) 1 , x
f (1) 0.
f
(
x)
2
1
(1 x2
ln
x)
2 ln x x2
0, 在 x 1 时。
f (x)单调递增，f单(调x)递 增f (，1) 0, f (x)
f (x) f (1) 0 ，证毕。
7、 0
6
8、
3
9、
10、 2
11、 y x ln x cx
2
4
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
12、[ 1 , 1) 22
13、原式=
lim
x0
xex ln(1 x) x ln(1 x)
lim
x0
xex
ln(1 x2
x)
lim
x0
ex
xex 1 1
2x
x
lim
23、证明：当 x 1 时， (1 ln x)2 2x 1．
b
ab
24、设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，证明：函数 f (x)dx 2 [ f (x) f (a b x)]dx ．
a
a
江苏省 2013 年普通高校“专转本”统一考试
高等数学 （二年级） 试卷答案
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1、C 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
5、下列级数中收敛的是
n 1
A、
n2
n1
B、 (
n
)n
n1 n 1
n!
C、
2n
n1
n
D、
3n
n1
6、已知函数
f
(x) 在点 x
1 处连续，且 lim x1
f (x) x2 1
1，则曲线2yf(x) 在点 (1,
f
(1)) 处的
切线方程为
A. y x 1
B. y 2x 2
C. y 3x 3
D. y 4x 4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
7、设函数
f
(x)
x
sin
1 x
x
0
在点
x
0
处连续，则常数
a
▲
．
a x 0
8、已知空间三点 A(1,1,1), B(2,3, 4),C(3, 4,5) ，则 ABC 的面积为 ▲ ．
9、设函数
y
y(x)
13、求极限
lim
x0
ex ln(1
x)
1 x
．
14、设函数
z
z(x,
y)
由方程
z3
3xy
3z
1所确定，求
dz
及
2z x2
．
15、求不定积分 x2 cos 2xdx ．
2 dx
16、计算定积分
．
0 2 4 x2
17、设函数 z f (x2 , e2x3y ) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z ． yx
1 z2 1 z2
2z
( z ) x
( 1
y z
2
)
y(2z) z x
2
yz
1
y z
2
2y2z
x2 x
x
(1 z2 )2
(1 z2 )2 (1 z2 )3
15、 x2 cos 2xdx 1 x2d sin 2x 1 x2 sin 2x x sin 2xdx 1 x2 sin 2x 1 xd cos 2x
22、
2
f (x) 2x(9x3
5
5x) 18x3
10x2 ,
2
f (x) 30x3
20x ，
f
(
x)
20
x
1 3
20 0, 解
得 x 1 ，另外 x 0 为二导不存在的点，通过列表分析得：在 (, 0), (1, ) 凸，在
(0,1) 凹，
拐点为 (0, 0), (1,8) 。
五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
dt
2
cos t dt
2 cos2 t 1
2
2 dt
2 (1
1
)dt
0 2 2 cos t
0 1 cos t
0 2 cos2 t
0
2 cos2 t
2
2
2 1dt 2
1 d t tan t 2 1
0
0 cos2 t 2 2
20 2
2
z
17、
y
f
2
e2x3
y
3,
2z yx
ex
ex
xex
1 (1 x)2
3
x0
2
2
14、令 F (x, y, z) z3 3xy 3z 1, Fx 3y, Fy 3x, Fz 3z2 3
z Fx 3y y , z Fy 3x x ,dz y dx x dy
x Fz 3z2 3 1 z2 y Fz 3z2 3 1 z2
a
a
a
ab
b
b
2 a
f (x)dx
ab f (x)dx
f (x)dx
a
2
.
3
03
4
4
3
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
21、（1） S
1
(2
y
y2 )dy
(2
2
3
y2
1
1
y3)
5
0
33
3
0
（2）
Vx
0
[1 (
1
x )2 ]dx
2
[1
(
x2
)2 ]d x
(x
x2
)
0
(x x5 ) 2
8
21
0
4
2 1
80 2 5 10 0
x 由参数方程
y
t2 t3
1
所确定，则
1
d2y dx2
x 1
▲
．
10、设向量 a, b 互相垂直，且 a 3，b 2，，则 a 2 b ▲ ．
11、设 lim( a
x
)
1 x
e ，则常数 a
▲．
x0 a x
12、幂级数
2n xn 的收敛域为
▲
．
n1 n
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
4、设
y
f
( 1 ) ，其中 x
f
d2y
具有二阶导数，则
dx2
A.
1 x2
f (1 ) 2 x x3
f (1 ) x
C. 1 f (1 ) 2 f (1 ) x2 x x3 x
B.
1 x4
f (1 ) 2 x x3
f (1 ) x
D. 1 f (1 ) 2 f (1 ) x4 x x3 x
面上，所以平面方程为 6(x 1) (2)( y 1) 10(z 1) 0 即 3x y 5z 7 0
19、由 dy y 得 1 dy dx,
dx
y
1 dy y
dx, ln y x C1, y exC1 eC1ex , y eC1ex Cex ，
由 y(0) 1 得 C 1,所以 y ex ，即 y 3y 2 y ex , r2 3r 2 0, r1 1, r2 2 ， 齐次方程的通解为 Y C1ex C2e2x .令特解为 y xAex , y Aex xAex , ， y Aex Aex xAex , 代入原方程得： Aex ex , A 1，
ab
ab
24、 2 [ f (a b x)]dx令a b x u 2 f (u)d (a b u)
a
b
ab
b
b
2 b
f (u)du
ab f (u)du
ab f (x)dx
2
2
ab
ab
ab
2 [ f (x) f (a b x)]dx 2 f (x)dx 2 f (a b x)dx
所以通解为 y Y C1ex C2e2x xex