－y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
答案：D
4．已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0)＝1，则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为________．
解析：设切线的倾斜角为 α，则 tan α＝f′(x0)＝1， 又 α∈[0，π)，所以α＝π4 .
π 特别注意：若在点(x0，y0 )处切线的倾斜角为 2 ，此 时所求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
[变式训练] (1)设函数 f(x)存在导函数，且满足
f（1）－2f（Δx1－2Δx）＝－1，则曲线 y＝f(x)上点(1，
f(1))处的切线斜率为( )
(2)因为切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，所以 2x0＝ －3，得 x0＝－32，故 y0＝94，
所以所求点 P 坐标为－32，94. (3)因为切线的倾斜角为 135°，所以其斜率为－1. 即 2x0＝－1，得 x0＝－12，故 y0＝14，
所以所求点 P 坐标为－12，14.
(2) 记 法 ： f′(x) 或 y′ ， 即 f′(x) ＝ y′ ＝ f（x＋Δ Δx）x－f（x）．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1) 导 函 数 f′(x) 的 定 义 域 与 函 数 f(x) 的 定 义 域 相 同．( ) (2)若函数 y＝f(x)的图象在点 M 处有切线，则 f(x)在 该点一定可导．( ) (3)若 f′(x0)＞0，则切线的倾斜角为锐角；若 f′(x0)＜0， 则切线的倾斜角为钝角；若 f′(x0)＝0，则切线与 x 轴平行 或重合．( ) (4)若直线 l 是函数 y＝f(x)图象的一条切线，则直线 l 与函数 y＝f(x)图象有且只有一个公共点．( )
解：(1)k＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝
2（1＋Δx）2－2×12 Δx
＝
4Δx＋2（Δx）2 Δx
＝
(4＋2Δx)＝4，
所以点 A 处的切线的斜率为 4.
(2)点 A 处的切线方程是 y－2＝4(x－1)，即 y＝4x－
2.
归纳升华 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
率为 16，则点 P 坐标为________．
解析：设 P(x0，2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝ Δx→0 2（Δx）2＋Δ4xx0Δx＋4Δx＝4x0＋4，
又因为 f′(x0)＝16，
所以 4x0＋4＝16，所以 x0＝3，所以 P(3，30)．
答案：(3，30)
解析：(1)错，导函数的定义域和原函数的定义域可 1
能不同，如 f(x)＝x2，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数 f′(x)＝2 1 x，其定义域为(0，＋∞)．
(2)错． (3)对，由导数的几何意义以及倾斜角的正切值的符 号与角度的关系知，说法正确．
(4)错，曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是 该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点．
(1)平行于直线 y＝4x＋8； (2)垂直于直线 2x－6y＋1＝0； (3)倾斜角为 135°.
解：设 y＝f(x)，f′(x)＝
f（x＋ΔxΔ）x－f（x）＝
（x＋ΔΔxx）2－x2＝2x.
设 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线 y＝4x＋8 平行，所以 2x0＝4， 解得 x0＝2，故 y0＝4，所以所求点 P 坐标为(2，4)．
f（1－2－Δx2）Δx－f（1）＝f′(1)＝－1.
答案：B
(2)解析：因为函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的可
导函数，所以 f(0)＝f(2)＝2，f′(0)＝－4，所以切点坐标
为(0，2)，切点斜率为－4，可得切线方程为 y＝－4x＋2.
答案：B
类型 2 求切点坐标
[典例 2] 在曲线 y＝x2 上哪一点处的切线满足下列 条件：
A．2
B．－1
C．1
D．－2
(2)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的可导函数，
若 f(2)＝2，且 f′(0)＝－4，则曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处
的切线方程是( )
A．y＝－2x＋2
B．y＝－4x＋2
C．y＝4x＋2
D．y＝－12x＋2
(1)解析：
f（1）－2f（Δx1－2Δx）＝
答案：π4
5．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y
－6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋ΔΔxx）2－a·12＝
2aΔx＋Δa（x Δx）2＝
(2a＋aΔx)＝2a，
所以 2a＝2，所以 a＝1.
答案：1
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例❶] 已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(1，2)，求： (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程．
特别地，若切线平行于 y 轴，导数不存在，这时曲线 在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＝x0.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2，8)，则点 A 处 的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
解析：f′(2)＝
f（2＋Δx）－f（2） Δx
＝
2（2＋Δx）2－8 Δx
＝
(8＋2Δx)＝8，即 k＝8.
答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x
类型 3 求过某定点的曲线的切线方程
[典例 3] 求曲线 y＝x2－1 过点(0，－2)的切线方程．
解：因为点(0，－2)不在曲线上，所以可设切点为(x0，
y0)，因为 y′|x＝x0＝
（x0＋Δx）Δ2x－1－x02＋1＝
(2x0＋Δx)＝2x0，
所以 k＝2x0＝y0－（x0－2）， 且 y0＝x20－1， 所以 2x0＝x20x＋0 1，解得 x0＝±1， 所以斜率 k＝±2， 所以所求切线方程为 y＝±2x－2.
(2)导数的导数就是切线 PT 的斜率 k，即
k＝
f（x0＋Δ Δx）x－f（x0）＝f′(x0)．
温馨提示 若函数在某点不存在导数，不能认为函数
的图象在该点没有切线，切线可能垂直于 x 轴．
2．导函数的概念 (1)定义：当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我 们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．
当Δx 趋于 0 时，(2a＋Δx)趋于 2a，所以所求切线 的斜率为 2a.
因此，（a2＋a－1）1 －0＝2a，解得 a＝1± 2， 所求的切线方程为 y＝(2＋2 2)x－(2＋2 2)或 y＝(2 －2 2)x－(2－2 2)．
1．运用变化的观点理解函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导 数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切 线的斜率，也就是说，曲线在点 P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 k＝f′(x0)．
第一章 导数及其应用
1.1 导数及其应用 1．1.3 导数的几何意义
[学习目标] 1.在了解导数概念的实际背景下，理解 导数的几何意义(重点、难点)． 2.会求切线的斜率及切 线方程(重点)．
1．导数的几何意义 (1)切线的定义．
如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．
归纳升华 根据切线斜率求切点坐标的步骤： (1)设切点坐标为(x0，y0)； (2)求导函数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0 得切 点坐标．
[变式训练] 已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜
归纳升华 求所给点(x0，y0)不是切点的切线方程的步骤： 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用斜率相等列出方程； 第三步：与曲线方程联立求出参数； 第四步：写出切线方程．
[变式训练] 求曲线 y＝f(x)＝x2＋1 过点 P(1，0)的切 线方程．
解：设切点为 Q(a，a2＋1)，f（a＋ΔΔx）x－f（a）＝ （a＋Δx）2Δ＋x1－（a2＋1）＝2a＋Δx，