第5讲导数的计算及其几何意义考点1：导数基本知识导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)Δx =ΔyΔx称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx →l”，或记作“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx→f′(x0)”或“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)”．3. 可导与导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．4. 导数的几何意义：设函数y=f(x)的图象如图所示：AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=切线AD的斜率．由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．典例精讲【典例1】已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x），利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象．【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝﹣x4+2x2，∴f′（x）＝﹣4x3+4x；设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣12x2+4，，令g′（x）＝0，解得x＝±√33时，g′（x）＞0，∴当0＜x＜√33时，g′（x）＜0；当x＞√33∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．【典例2】若过点P （﹣1，m ）可以作三条直线与曲线C ：y ＝xe x相切，则m 的取值范围是（ ）A ．（−3e2，+∞） B ．（−1e ，0）C ．（0，+∞）D ．（−3e 2，−1e ）【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．【解答】解：设切点为（x 0，y 0），过点P 的切线方程为y =(x 0+1)e x 0(x−x 0)+x 0e x 0，代入点P 坐标化简为m =(−x 02−x 0−1)e x 0，即这个方程有三个不等根即可，令f(x)=(−x 20−x 0−1)e x 0，求导得到f ′（x ）＝（﹣x ﹣1）（x +2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f （﹣2）＜m ＜f （﹣1），即(−3e 2，−1e ) 故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．【典例3】过点P （0，﹣1）作曲线C ：y ＝lnx 的切线，切点为A 1，设A 1在y 轴上的投影是点B 1，过点B 1再作曲线C 的切线，切点为A 2，设A 2在y 轴上的投影是点B 2，…，依次下去，得到第n （n ∈N *）个切点An ，则点A n 的坐标为 （en ﹣1，n ﹣1） ．【分析】设A 1（x 1，lnx 1），可得切线方程代入点P 坐标，可解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），在写切线方程代入点B 1（0，0），可得A 2（e ，1），B 2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论．【解答】解：设A 1（x 1，lnx 1），此处的导数值为1x 1，故切线方程为y ﹣lnx 1=1x 1（x ﹣x 1），代入点P （0，﹣1）可得﹣1﹣lnx 1=1x 1（0﹣x 1），解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），同理可得过点B 1再作曲线C 的切线方程为y ﹣lnx 2=1x 2（x ﹣x 2），代入点B 1（0，0），可得0﹣lnx 2=1x 2（0﹣x 2），可解得x 2＝e ，故A 2（e ，1），B 2（0，1），…依次下去，可得A n 的坐标为（e n ﹣1，n ﹣1）故答案为：（en ﹣1，n ﹣1）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．【典例4】已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=ax+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想．【典例6】已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0﹣3）（x0+1）2，则该函数的单调递增区间为[3，+∞）．【分析】由题意可求得导数f′（x），解不等式f′（x）＞0即得函数的递曾区间．【解答】解：由题意知，函数f（x）在任一点处的导数f′（x）＝（x﹣3）（x+1）2，令（x﹣3）（x+1）2＞0，解得x＞3，所以函数的单调递增区间为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查导数的几何意义及不等式的解法，属基础题，准确理解导数的几何意义是解题的关键．考点2：导数运算一、导数的运算1. 导数公式表2. 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即=f′(u)⋅g′(x)．设y=f(u)，u=g(x)，则y′x3. 导数的四则运算(1)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和．(2)(f(x)−g(x))′=f ′(x)−g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．(3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． (4)[f(x)g(x)]′=g(x)f ′(x)−f(x)g ′(x)g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．二、导函数与原函数的关系1．导函数的图像对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像． 2、求导公式的逆用导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．典例精讲【典例1】已知函数3()1x f x x e =-，则它的导函数()f x '等于( )A ．23x x eB ．2x x e (3)x +C ．2(3)1x x e x +-D ．231x x e -【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数3()()x f x x e '='-（1）33()()x x x e x e '='+'，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()1x f x x e =-，其导数3()()x f x x e '='-（1）33232()()3x x x x x x e x e x e x e x e '='+'=+=(3)x +； 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 【典例2】设函数F （x ）=f(x)e x是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017＞e2017f （0） B ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0） C ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＞e 2017f （0）D ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＜e2017f （0）【分析】对f （x ）求导，利用f '（x ）＜f （x ）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小． 【解答】解：F '（x ）＝[f(x)e x]'=f ′(x)e x −f(x)e x(e x )2=f ′(x)−f(x)e x，因为f '（x ）＜f （x ），所以F '（x ）＜0，所以F （x ）为减函数， 因为2＞0，2017＞0，所以F （2）＜F （0），F （2017）＜F （0）， 即f(2)e 2＜f(0)e 0，所以f （2）＜e 2f （0）；f(2017) e2017＜f(0)e0，即f（2017）＜e2017f（0）；故选：D．【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F（x）的单调性，并正确运用．【典例3】已知函数f(x)=2e x+1+sinx，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值为 2 ．【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论．【解答】解：函数f(x)=2e x+1+sinx，则f（﹣x）=2e x1+e x−sin x；f′（x）=−2e x(1+e x)2+cos x，f′(−x)=−2e x(1+e x)2+cos x，∵f′（x）﹣f′（﹣x）＝0，f（x）+f（﹣x）＝2．∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题．【典例4】已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，则f′（1）=1−ln11=1；故答案为：1．【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．【典例5】如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1 ．【分析】由函数在点P（4，f（4））处的切线方程得到切线的斜率，即f′（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求．【解答】解：由图可知，f′（4）＝﹣2，且f（4）＝﹣2×4+9＝1，∴f（4）+f′（4）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．【典例6】设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝5x3+2xf′（1），则f′（3）＝105【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，再求出f′（3）即可【解答】解：求导得：f′（x）＝15x2+2f′（1），令x＝1，得到f′（1）＝15+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣15，∴f′（3）＝15×9+2×（﹣15）＝105，故答案为：105．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（1）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．【典例7】若函数()f x 满足321()(1)23f x x f x x '=-+，则f '（2）的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】可以得出2()2f x x f '=-'（1）2x +，进而求出f '（1）1=，从而得出导函数2()22f x x x '=-+，将x 换上2即可得出f '（2）的值．【解答】解：2()2f x x f '=-'（1）2x +，f ∴'（1）12f =-'（1）2+，解得f '（1）1=，2()22f x x x ∴'=-+， f ∴'（2）4422=-+=．故选：C ．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数f （x ）＝e x+ax 2（a ∈R ），若曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（−12，+∞） B ．[﹣1，+∞） C ．[−12，+∞） D ．（﹣1，−12）【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和方程，令x ＝0，可得切线在y 轴上的截距，再由不等式恒成立思想，运用参数分离和构造函数法，求得范围，即可得到所求范围． 【解答】解：函数f （x ）＝e x +ax 2的导数为f ′（x ）＝e x+2ax ，可得曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线斜率为e m+2am ， 即有切线的方程为y ﹣（e m +am 2）＝（e m+2am ）（x ﹣m ）， 可令x ＝0可得y ＝e m ﹣me m ﹣am 2，由题意可得e m﹣me m﹣am 2＜1对m ＞1恒成立， 则a ＞e m −me m −1m 2，由g （m ）=e m −me m −1m 2+1=e m −me m −1+m 2m 2，由e m﹣me m﹣1+m 2＝（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）， 由m ＞1可得1﹣m ＜0，由y ＝e x ﹣1﹣x 的导数为y ′＝e x﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数y 递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数y 递减， 可得y ＝e x﹣1﹣x 的最小值为e 0﹣1﹣0＝0， 可得m ＞1时，e m﹣1﹣m ＞0，则（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）＜0，即g （m ）＜0， 则e m −me m −1m 2＜−1恒成立，可得a≥﹣1，即a的范围是[﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．2．已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x），利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象．【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝﹣x4+2x2，∴f′（x）＝﹣4x3+4x；设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣12x2+4，，令g′（x）＝0，解得x＝±√33∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．3．设函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=（ ）A ．2B ．1C ．23D ．6【分析】根据题意，由极限的性质可得lim △x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1），据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，即f ′（1）＝2， 则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1）=23；故选：C ．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题．4．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]＝e +1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ） A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）【分析】由设t ＝f （x ）﹣lnx ，则f （x ）＝lnx +t ，又由f （t ）＝e +1，求出f （x ）＝lnx +e ，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e 的解可转化成方程lnx −1x =0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）=1x，∴f（x）﹣f′（x）＝lnx+e−1x=e，即lnx−1x=0，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，令h（x）＝lnx−1x，而h（2）＝ln2−12＞0，h（1）＝ln1−11＜0，∴方程lnx−1x=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）＝e的解所在区间为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．5．已知函数f（x）=2e+1+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【分析】化函数f（x）＝sin x+1−e x1+e +1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e，判断g（x）为奇函数，求出f（﹣x）+f（x）的值；再判断g′（x）为偶函数，求出f′（x）﹣f′（﹣x）的值．【解答】解：函数f（x）=2e x+1+sin x＝sin x+1−e x1+e x+1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+1−e −x1+e−x =−（sin x+1−e x1+e x）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2；又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性与对应导数的奇偶性问题，是中档题．二．填空题（共3小题）6．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b＝0，实数c，d满足2d﹣c−√5=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0与直线2x﹣y−√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0相切，而与直线2x﹣y−√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0与直线2x﹣y−√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 的导函数f '（x ）是偶函数，则实数a ＝ 1 ． 【分析】先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f （﹣x ）＝f （x ）建立等式关系，解之即可．【解答】解：对f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 求导，得f '（x ）＝3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3），又f ′（x ）是偶函数，即f ′（x ）＝f ′（﹣x ）， 代入，可得：3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3）＝3x 2+2（a ﹣1）x +（a ﹣3）， 化简得a ＝1， 故答案为：1．【点评】考查了偶函数的概念，以及将偶函数与函数的求导结合在一起． 8．若函数f （x ）满足f ′(x)−f(x)e x=2x ，f （0）＝1，则当x ＞0时，f ′(x)f(x)的取值范围是 （1，2] ．【分析】构造函数，结合条件求出函数f （x ）的解析式，结合分式函数的性质利用基本不等式法进行求解即可． 【解答】解：设h （x ）=f(x)e x，则h ′（x ）=f ′(x)−f(x)e x=2x ，即h（x）＝x2+c，即f（0）＝1，∴h（0）=f(0)e0=1＝0+c，则c＝1，则h（x）=f(x)e x=x2+1，则f（x）＝e x（x2+1），则f′（x）＝e x（x2+1）+e x（2x）＝e x（x2+2x+1），则f′(x)f(x)=e x(x2+2x+1)e x(x2+1)=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1=1+2x+1x当x＞0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，则0＜1x+1x ≤12，则0＜2x+1x≤1，则1＜1+2x+1x≤2，即f′(x)f(x)的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件利用构造法求出函数的解析式，结合分式函数的性质是解决本题的关键．。