第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩，联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．3[0,]4πB ．3[0,)[,)24πππC ．3[,)4ππ D ．3(,]24ππ【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则22()2(1)11f x x x x '=-=---，tan 1α∴-，02πα∴<或34παπ<．∴过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，3)[24ππ，)π． 故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．(0,2)eD ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >，()84(2)484(12)h s s slns s s slns s lns '=-+=-=-，可得0s <<()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()y ln x b =+相切，则22a b-的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数()y ln x b =+的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，(0,1)a ∴∈，则2221a a b a=-+，令g （a ）21a a=+，则g '（a ）2(2)0(1)a a a +=>+，则函数g （a ）为增函数，∴21(0,)22a b ∈-． 故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．2-B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，可得s a e s =，并且212t s e =，t alns =，即212s a e s s alnse⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12lns =，解得2s e =．可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，可得：1x >时，2()()0f x xf x +'>；10x >>时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， ∴切线方程为1(1)(1)y n x -=+-．令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为20152016． 【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：20152016． 10．设函数23()()xx axf x a R e+=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 3y x e= ．【解析】解：函数23()()x x ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =，则2233633(),(),(1),(1)x x x x x f x f x f f e e e e-+''====， 则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点1(,)42π处的切线方程为 1024x y π+--= ．【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为()2sin cos f x x x '=-，可得在点1(,)42π处的切线斜率为2sin cos 144ππ-=-，即有在点1(,)42π处的切线方程为1()24y x π-=--，即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。