T 切线
的切线的斜率.
P
o
x
即:
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0)
导数的几何意义：函数在某点处的导数 就是函数图象在该点处的切线的斜率！
1．(2010·新课标全国卷)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切
线方程为
()
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
答案：A
3．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y ＝12x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由已知切点在切线上，所以 f(1)＝12＋2＝52，切点 处的导数为切线的斜率，所以 f′(1)＝12， 所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有 解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础 上，又注重考查解析几何的相关知识．
预测2012年高考在考查方式和内容上不会有大的变化， 在保持稳定的基础上可能对条件的设置情景进行创新，考查 方式仍然会以客观题为主，考查内容以导数的运算公式和运 算法则为基础，以导数的几何意义为重点．
答案：21
4．设函数 f(x)＝ax－bx，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线 方程为 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和 直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝74x－3. 当 x＝2 时，y＝12.
又 f′(x)＝a＋xb2，于是a2＋a－4b＝b2＝47，12， 故 f(x)＝x－3x.
解得ab＝ ＝13， ，
(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋x32知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋x320)(x－x0)，
即 y－(x0－x30)＝(1＋x320)(x－x0)． 令 x＝0，得 y＝－x60，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标 为(0，－x60)； 令 y＝x，得 y＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为 (2x0,2x0)．
答案：－xsinx
4．求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)(1＋ 1x)；(2)y＝lnxx； (3)y＝xex；(4)y＝tanx.
解：(1)∵y＝(1－
x)(1＋
1x)＝
1－ x
x＝x
1 2
－x
1 2
，
∴y′＝(x
1 2
)′－(x
1 2
)′＝－12x
3 2
－12x
1 2
.
(2)y′＝(lnxx)′＝ln
2．(2010·江西高考)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，
则f′(－1)＝
()
A．－1
B．－2
C．2
D．0
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx， 又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2， 即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.
f '(x) 0
f '(x) nxn1
f '(x) cos x
f '(x) sin x
f '(x) ax ln a
f '(x) e x
f '(x)
1 x ln a
f '(x) 1
x
跟踪练习：求下列函数的导数
(1) y= 5 y 0
(2) y= x 4 (3) y= x -2
(4) y= 2 x
导数的应用：
• ①利用几何意义求切线斜率及方程 • ②求单调区间 • ③求极值 • ④求最值
一.导数的y 几何意义
y=f(x)
Q
割线
T
切线
P
o
x
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ 趋近与一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点 P处的切线
y
当Δx→0时,割线PQ的
割线
斜率,称为曲线在点P处
答案：D
4．(2010·江苏高考)函数 y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak＋1，其中 k∈N*. 若 a1＝16，则 a1＋a3＋a5 的值是________． 解析：∵y′＝2x，∴过点(ak，ak2)处的切线方程为 y－ a2k＝2ak·(x－ak)，又该切线与 x 轴的交点为(ak＋1,0)， 所以 ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项 a1＝16， 其公比 q＝12，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
x′x－x′ln x2
x
＝1x·x－x2lnx＝1－x2lnx.
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
(4)y′＝(csionsxx)′＝sinx′coscxo－s2sxinxcosx′ ＝cosxcosx－cossi2nxx－sinx＝co1s2x.
[归纳领悟] 求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导 过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法 则，联系基本初等函数求导公式进行求导，对于不具 备直接求导的结构形式要适当变形.
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0)
或 y |xx0, 即
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) x
f (x0 )
.
1. f (x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。
4(2011 年高考课标全国卷)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y
＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( )
A.13
B.12
C.23
D．1
[自主解答] ∵y′＝(－2x)′·e－2x＝－2e－2x，
k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为
y－2＝－2(x－0)，
即 y＝－2x＋2.
答案：B
3．(2010·辽宁高考)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上，α 为曲线
在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是 ( )
A．(0，π4)
B．(π4，π2)
C．(π2，34π)
D．[34π，π)
解析：y′＝－ex4＋ex12＝－e2x＋42eexx＋1. 设 t＝ex∈(0，＋∞)，则 y′＝－t2＋42tt＋1＝－t＋14t ＋2， ∵t＋1t ≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[34π，π)．
如图，∵y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点坐标为23，23，y＝－2x＋2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，
∴S＝12×1×23＝13.
[答案] A
求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x ①在原点处的切线方程 ②过原点的切线方程
解：f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为 k.
(1)切点是原点，k＝f′(0)＝2，
所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角 形面积为 12|－x60||2x0|＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.
变化率与导数、导数的计算
1. 了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，
y＝1x的导数．
4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数．
二、导数 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
y 4x3
y
2 x 3
2 x3
y 2x ln 2
(5) y=log3x y 1 x ln 3
三、导数的运算法则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； 2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．[gfxx]′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
2．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切
线方程是x－y＋1＝0，则
()
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
解析：求导得 y′＝2x＋a，因为曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0， b)处的切线 l 的方程是 x－y＋1＝0，所以切线 l 的斜率 k ＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线 l 上，于是有00＋－ab＝＋11＝0 ， 解得ab＝＝11 .
所以所求曲线的切线方程为 y＝2x.
(2)切点不是原点，设切点是(x0，y0)，
则有 y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①
又 k＝xy00＝x20－3x0＋2，
②
由①②得 x0＝23，k＝xy00＝－41.
∴所求曲线的切线方程为 y＝－41x.
一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数
(g(x)≠0)．
变式：求下列函数的导数：
（1） y log 2 x
（2） y 2x5 3x2 5x 4
（3） y 2ex
（4） y x ln x
（5） y 3cos x 4sin x
（6）
y x3 1