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一般总体均值的假设检验.

§7.4 一般总体均值的假设检验一、一般总体均值的大样本假设检验1. 一个总体均值的大样本假设检验设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ,记总体均值μ=)(X E 。

样本均值及样本方差分别为11ni i X X n ==∑,2211()1n i i S X X n ==--∑。

如果我们要做双侧检验:0100::μμμμ≠↔=H H ,在大样本情况(样本容量30≥n )下可选 n S X Z /0μ-=为检验统计量,由中心极限定理知,它在0H 成立时近似服从)1,0(N 。

检验的P 值近似为|))(|1(2)||(20O O z z Z P Φ-==≥μμ,其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0μ-=。

例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。

生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期降低误差。

为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低,从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。

50个零件尺寸的绝对误差数据(mm )如下所示:1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.021.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.012.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.081.10 1.64 1.702.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86利用这些数据,检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低?(0.01α=) 解:这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低,也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35,因此属于单左侧检验。

提出的假设如下:0: 1.35H μ≥↔1: 1.35H μ<现在50=n ,检验统计量可选为 )1,0(~/35.135.1N nS X Z =-=μ; 由数据得:215.1=x ,366.0=s ,故检验统计量Z 的观测值为608.250/366.035.1215.1-≈-≈O z ,所以检验的P 值近似为0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。

因为01.0<P ,应拒绝原假设,可认为新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比有显著降低。

注:本例也可以直接根据原始数据计算检验的P 值,操作步骤如下:第1步:进入Excel 表格界面,直接点击“f(x)”(粘贴函数)命令。

第2步:在函数分类中点击“统计”,并在函数名菜单下选择“ZTEST”,然后确定。

第3步:在所出现的对话Array 框中,输入原始数据所在区域;在X 后输入参数的某一假定值(这里为1.35);在Sigma 后输入已知的总体标准差(若总体标准差未知则可忽略不填,系统将自动使用样本标准差代替),如下图所示。

图7.2.2此时给出的分布右侧面积为0.995421058,用1减去该值,即为左侧检验的P 值,即0046.09954.01=-≈P 。

2. 两个总体均值的大样本假设检验设两独立样本1,,1n X X 和2,,1n Y Y 分别取自非正态总体X 和Y (总体均值记为1)(μ=X E 和2)(μ=Y E ),它们的样本均值分别为∑==1111n i i X n X ,∑==2121n j j Y n Y ,样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ,∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。

如果我们要做双侧检验:211210::μμμμ≠↔=H H ,在大样本情况下可选 222121//n S n S YX Z +-=为检验统计量,由中心极限定理知,它在0H 成立时近似服从)1,0(N 。

检验的P 值近似为|))(|1(2)||(221O O z z Z P Φ-==≥μμ,其中222121n s n s yx z O +-=为检验统计量Z 的观测值。

例7.4.2 一个随机样本由居民一区的100个家庭组成,另一随机样本由居民二区的150个家庭组成,这两个样本所给出的关于目前住房中居住了多长时间的信息如下:41=x 个月, 49=y 个月,21900s =,221050s =。

这些数据是否提供了充分的证据,说明一区家庭在目前住房中居住的时间平均来说比二区家庭短?(设0.05α=) 解:建立假设012:H μμ≥↔112:H μμ<本题的样本容量足够大,1100n =,2150n =,检验统计量为)1,0(~//21222121N n S n S Y X Z μμ=+-=其样本观测值为215010501009004941-=+-=O z 。

此题属于左侧检验,检验的P 值近似为02275.0)2()2(21=-Φ==-≤μμZ P ,故拒绝0H ,接受1H ,即说明一区家庭在目前住房的时间平均来说比二区家庭短。

二、 总体比率的假设检验1. 单个总体比率的大样本假设检验设样本12(,,,)n X X X 取自0-1分布总体),1(~p B X ,总体均值p X E =)(。

样本均值为11ni i X X n ==∑。

如果我们要做双侧检验:0100::p p H p p H ≠↔=,在大样本情况(30≥n 且5))1(,m in(00>-p n np )下可选 n X X p X Z /)1(0--=或np p p X Z /)1(000*--=为检验统计量,由中心极限定理知,它们在0H 成立时都近似服从)1,0(N 。

所以检验的P 值近似为|))(|1(2)||(20O O z H z Z P Φ-≈≥或|))(|1(2)||(2*0**O O z H z Z P Φ-≈≥,其中n x x p x z O /)1(0--=和np p p x z O /)1(000*--=分别为检验统计量Z 和*Z 的观测值。

例7.4.3 某企业的产品畅销于国内市场。

据以往调查,购买该产品的顾客有50%是30岁以上的男子。

该企业负责人关心这个比例是否发生了变化(无论是增加还是减少)?于是委托一家咨询公司进行调查,这家咨询机构从众多的购买者中随机抽选了400名进行调查,结果有210名为30岁以上的男子。

该厂负责人希望在显著性水平0.05α=下检验“50%的顾客是30岁以上的男子”这个假设。

解:提出假设:0100:%50:p p H p p H ≠↔==由于样本容量40030n =>,且5200))1(,m in(00>=-p n np ,所以可以使用正态分布进行检验。

检验统计量为n X X p X Z /)1(0--=或np p p X Z /)1(000*--=,它们在0H 成立时都近似服从)1,0(N 。

现在525.0400/210==x ,检验统计量Z 和*Z 的样本观测值分别为001.1400/)525.01(525.05.0525.0≈--=O z 和1400/)5.01(5.05.0525.0*=--=O z 。

检验的P 值近似为3168.0)8416.01(2))001.1(1(2)001.1(20=-=Φ-≈≥H Z P 或3174.0))1(1(2)1(20*=Φ-≈≥H Z P 。

因为检验的P 值都大于显著性水平0.05,故不拒绝0H ,即没有充分理由认为比例发生了变化。

2. 两个总体比率的大样本假设检验设两独立样本1,,1n X X 和2,,1n Y Y 分别取自0-1分布总体X 和Y (总体均值记为1)(p X E =和2)(p Y E =),样本均值分别为∑==1111n i i X n X ,∑==2121n j j Y n Y 。

如果我们要做双侧检验:211210::p p H p p H ≠↔=,在大样本情况下可选 )/1/1)(ˆ1(ˆ21n n p pY X Z +--=(这里2121ˆn n Y n X n p ++=)为检验统计量,由中心极限定理知,它在0H 成立时近似服从)1,0(N 。

所以检验的P 值近似为|))(|1(2)||(20O O z H z Z P Φ-≈≥,其中)/1/1)(ˆ1(ˆ21n n p py x z O +--=为检验统计量Z 的观测值。

例7.4.4 甲、乙2公司属于同一行业,有人问这2个公司的工人是愿意得到特定增加的福利费,还是愿意得到特定增加的基本工资。

在甲公司150名工人的简单随机样本中,有75人愿意得到增加基本工资;在乙公司200名工人的随机样本中,120人愿意得到增加的基本工资。

在每个公司,样本容量占全部工人数的比率不超过5%。

试问:可以判定这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同吗?(α=0.05)解:建立假设012:H p p =↔112:H p p ≠现在是大样本情形,检验统计量为)/1/1)(ˆ1(ˆ21n n p pY X Z +--=(这里)/()(ˆ2121n n Y n X n p ++=),它在0H 成立时近似服从)1,0(N 。

由样本观测值知,5.0150/75==x ,6.0200/120==y ,557.020*********ˆ≈++=p ,864.1)200/1150/1)(557.01(557.06.05.0-≈+--=O z , 所以检验的P 值近似为062.0)969.01(2))864.1(1(2)864.1(20=-=Φ-≈≥H Z P 。

由于05.0>P ,所以不拒绝原假设0H ,即没有充分理由认为这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同。

有时我们要检验两个总体比率之差是否为某一个不为0的常数0d ,即要检验假设: 02110210::d p p H d p p H ≠-↔=-,在大样本情况下可选 210/)1(/)1(n Y Y n X X d Y X Z -+---=为检验统计量,由中心极限定理知,它在0H 成立时近似服从)1,0(N 。

所以检验的P 值近似为|))(|1(2)||(20O O z H z Z P Φ-≈≥,其中210/)1(/)1(n y y n x x d y x z O -+---=为检验统计量Z 的观测值。

例7.4.5 某厂质量检验人员认为该厂一车间的产品一级品的比率比二车间产品一级品的比率大5%。

现从一车间和二车间分别抽出2个独立随机样本,得到如下数据:1150n =,其中一级品数为113;1602=n ,其中一级品为104。

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