二次函数综合题训练题型集合1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线mxy+=与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24y ax x c=-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离EBACP图1O xyDxyO 3－9－1－1AB图2P B A C O xy Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.7、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .CAM yBOxCAMyBOxCAM yBOx4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式； （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.x y D图5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图-3 0 -1-21 234 S(万元) 图41 2 3 4 5 6 t(月)6、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

8、（05海南中考）如图8，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由.备用图8图69、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左 侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长； ②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在 抛物线221x y =上，以A 为顶点的四边形ABCD 是平行四边形，且项点B ，C ，D 在抛物线上，AD ∥x 轴，点D 在第一象限.(1)求BC 的长；(2)若点P 是线段CD 上一动点，当点P 运动到何位置时， △DAP 的面积是7. (3)连结AC ，E 为AC 上一动点，当点E 运动到何位置时，直线OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E 点的坐标及直线OE 的函数关系式.11、（07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如 图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是c ax y +=2的形式. 请根据所给的数据求出c a ,的值.（2）求支柱MN 的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE 是一条宽2米 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.xy 0123 4-1-1-2-312 AB CD 图9A B C DOyx 图10 MN10米 20米6米 5米 图11-1 图11-2D E O xA B C y二次函数综合题训练题型集合1、 (1) m=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2-2x+1.(2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E =(x+1)-(x 2-2x+1)=-x 2+3x. 即h=-x 2+3x (0＜x ＜3).(3) 存在.要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC.∵ 点D 在直线y=x+1上,∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. 2、解：（1）二次函数的表达式为642--=x x y ． （2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ，解得121,6m m =-=． ∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点★绝密资料★ ★参考答案★E F PB AC Oxy Q图13Q 到x 轴的距离为6．3、（1）∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=.（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2. 由tan ∠BAE=3=AEBE，得∠BAE =60°.（ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ·QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=. （ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点的纵坐标为3，PA=4-t .这S=3)4(21⋅-t 3223+-=t ②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4334322+--=+-=t t t S . ∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. （ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-=t S ∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小. ∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S .综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3. △PQA 是等边三角形. ③ 存在. 当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t . ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332). 当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA 是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈 （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2.∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=21 . ∴ 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=21t 2-2t. （3）把S=30代入S=21t-2)2-2，得21t-2)2-2=30 解得t 1=10，t 2=-6（舍去）.答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （4）把t=7代入关系式，得S=21×72-2×7=10.5 把t=8代入关系式，得S=21×82-2×8=1616-10.5=5.5 答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2顶点为F （1,0）yD C∴ 2)1(-=x a y ∵ 该抛线经过点E （0,1）∴ 2)10(1-=a∴ 1=a ∴ 2)1(-=x y ， 即函数关系式为122+-=x x y .（2）① ∵ A 点的坐标为（t ,0）, AB=4，且点C 、D 在抛物线上，∴ B 、C 、D 点的坐标分别为(t +4,0)，(t +4, (t +3)2)，(t ,(t -1)2). ∴20844])3()1[(21)(21222++=⋅++-=⋅+=t t t t AB BC AD S . ② 16)1(4208422++=++=t t t S ∴ 当t =-1时，四边形ABCD 的最小面积为16 此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形③ 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD 上存在点P, 使得ΔPAE 的周长最小. ∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE 的周长最小，只需PA+PE 最小. ∵此时四边形ABCD 是正方形，点A 与点C 关于BD 所在直线对称, ∴由几何知识可知，P 是直线CE 与正方形ABCD 对角线BD 的交点. ∵点E 、B 、C 、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD ，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. ∴ P(35,34)在Rt △CEB 中，CE=524222=+,∴ △PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52.6、解：（1）C （2，－3）∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分）E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)F F F F -+- 7、解：（1）∴438342++-=x x y （2）顶点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛316,1 过点M 作MF x ⊥轴于F∴FOCM AFM AOCM S S S 梯形四边形+=∆ =()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC ∵若DE ∥OC ，则点D 、E 应分别在线段OA 、CA 上，此时 1<t<2,在Rt △AOC 中，AC=5. 设点E 的坐标为()11,y x ∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE ∥OC ，t t 2351212=- ∴38=t ∵38=t >2，不∴满足1<t<2.∴不存在DE ∥OC.②根据题意得D 、E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒） 现分情况讨论如下：ⅰ当0 <t ≤ 1时，2342321t t t S =⋅⨯=；ⅱ当1<t ≤2时，设点E 的坐标为()22,y x ∴()544542--=t y ，∴516362t y -=∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33,y x ，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x ∴532344-=t y ，∴51264-=t y AODAOE S S S ∆∆-=512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S 10、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC. ∵A(0,8),∴设D 点坐标为(x 1,8), 代入221x y =中， 得x 1=±4.又∵D 点在第一象限，∴ x 1=4，∴ BC=4. （2）∵C(2,2)，D(4,8)，∴直线CD 的函数关系式为y=3x-4.设点P 在线段CD 上，P(x 2,y 2)，∴y 2=3x 2-4.∵AD=BC=4,∴21×4(8-y 2)=7， ∴y 2=29.∴3x 2-4=29， ∴x 2=617. ∴P(617,29),A B C D O y xEE CA yOBxMDECA yOBF xMD即当点P 在(617,29)的位置时，△DAP 的面积是7.（3）连接AC ，当点E 运动到AC 的中点（或AC 与BD 的交点）时，即E 点为☐ ABCD 的中心，其坐标为E （1,5）,直线OE 将☐ ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线OE 的函数关系式为y=kx,∴k=5，∴直线OE 的函数关系式为y=5x.11、(1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入c ax y +=2，得 ⎩⎨⎧+==.1000,6c a c 解得6,503=-=c a . ∴抛物线的表达式是65032+-=x y . (2) 可设N(5,N y )，于是5.4655032=+⨯-=N y .从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3). 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则35013675032>+=+⨯-=H y .根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.G H图12-2 D EO x AB C y。