高一数学中的恒成立问题班级 姓名 学号1.任意x R ∈，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则a 的范围是____(]2,2-___.2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.212+D.22+1. B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2.3．不等式()()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的范围为______. 【解】当210m -≠时不等式恒成立的充要条件是210m ->且()()22411210m m ---<，即m>1或m<-2；当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U （，），+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式m yx ≥+41恒成立的实数m 的取值 范围是 ]49,(-∞5．已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.86、若对于一切正实数x 不等式xx 224+>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 a<247．若不等式.2log 0m x x -<在(0,12)的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是＿＿＿＿. 【解】1116m ≤< 提示：利用数形结合讨论0<m<1和m>1两种情况 8．设y=x 2+ax+b ，当x=2时y=2,且对任意实数x 都有y≥x 恒成立，实数a 、b 的值为（ Ｂ ）.A.a=-3 b=-4B.a=-3 b=4 C a=3 b=4 D a=3 b=-4 9、当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．(－∞,2] B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]10.若不等式n)1(2a )1(1n n+-+<-对任意正整数n 恒成立。

则实数a 的取值范围是（ A ）A )23,2[-B )23,2(-C )233,(-D )23,3(-11、若关于x 的不等式m x x≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 (,3]-∞-．12.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 恒成立，则（ C ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 13.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是___________________. 解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 14. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>15. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥ C2 D ．11xy ≥16. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .17、若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[15，＋∞)．18、设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋mx ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是________．【解析】 原问题等价于m x ＋y ≥－(1x ＋1y )恒成立，∵x >0，y >0，∴等价于m ≥－(1x ＋1y)(x ＋y )的最大值，而－(1x ＋1y )(x ＋y )＝－2－(y x ＋xy)≤－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.19、设函数f (x )＝x －1x.对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则m 的范围是________．【解析】 由题知，mx －1mx ＋mx －m x <0在[1，＋∞)上恒成立，即2mx <(1m ＋m )1x，显然m ≠0.当m >0时，即1m＋m 2m>x 2在[1，＋∞)上恒成立，由于函数g (x )＝x 2无最大值，此时不存在满足题意的m ；当m <0时，即1m ＋m 2m <x 2在[1，＋∞)上恒成立，即1m ＋m 2m<1，即m 2>1，解得m <－1，即m 的取值范围是(－∞，－1)．20、在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．321、若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-）22．设函数()21f x mx mx =--，若（1）对一切实数x,()0f x <恒成立，求m 的取值范围.（2）若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围. 解(1)要求210mx mx --<恒成立。

当m=0时显然成立;当0m ≠时,应有m<0,240m m ∆=+<,解之得-4<m<0.综上40m -<≤(2)、将()5f x m <-+变换成的m 的不等式()2160m x x -+-<则命题等价于[]2,2m ∈-时 ()()2160g m m x x =-+-<恒成立。

Q 210x x -+> ()g m 在[]2,2-上单调递增。

∴只要()()222160g x x =-+-<，即220x x --<，∴-1<x<223．若不等式22)1(122≤≤-->-m x m x 对满足的所有m 恒成立，求x 的取值范围. 【解】 设)12()1()(2---=x m x m f ， …要使220)(≤≤-<m m f 在上恒成立，只需⎩⎨⎧<-<0)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--0322012222x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+->--<+<<-⇒271.271231231x x x 或 231271+<<+-⇒x 24、若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围．当2=a 时，原不等式变形为04<-，恒成立，即2=a 满足条件；当 2≠a 时，要使不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，必须02<-a 且0)2(44)2(42<-⨯+-=∆a a2<a 22<<-a ，解得，22<<-a ．综上所述，a 的取值范围是22≤<-a ． 25．设f(x)=ax 2+bx+c ，若f(1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式： x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切实数x 恒成立， 证明你的结论. 【解】由f(1)= 27得a+b+c=27。

令x 2+21=2x 2+2x+23⇒x=－1，由f(x)≤2x 2+2x+23推得f(－1)≤23。

由f(x)≥x 2+21推得f(－1)≥23,∴f(－1)= 23∴a －b+c=23，故2(a+c)=5,a+c=25且b=1 ∴f(x)=ax 2+x+(25－a)依题意：ax 2+x+(25－a)≥x 2+21对一切x ∈R 成立，即0)2()1(2≥-++-a x x a 都成立，∴a>1，且Δ=1－4(a －1)(2－a)≤0。

推得(2a －3)2≤0 ∴23=a ，∴f(x)=23x 2+x+1易验证：23x 2+x+1≤2x 2+2x+23对x ∈R 都成立。

∴存在实数a=23,b=1,c=1使得不等式x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切x ∈R 都成立.26.关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集是R ，求m 的取值范围. 解：]3,51(-27.若关于x 的不等式2282002(1)94x x mx m x m -+<++++的解为x R ∈，求实数m 的取值范围 解：15-<<-m28．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c的取值范围． 解析 因为a 、b 都是正实数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，所以log 3(9a ＋b )＝log 3(ab )， 故9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a ＝1，所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋ba≥13＋236a b ·ba＝25， 即4a ＋b ≥25，当且仅当36a b ＝ba ，即b ＝6a 时等号成立．而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.。