所以本次考试的平均分为 71 分。
（3）成绩在 40,50 的人数为 40 0.1 4 人，成绩在 90,100 的人数为 40 0.05 2 人
从成绩在 40,50 和 90,100 的学生中选两人，将分数段 40,50 的 4 人编号为 A1，A2 ，A3 ，
A4 ，将 90,100 分数段的 2 人编号为 B1 ， B2 ，从中任选两人，则基本事件构成集合 =（ A1 , A2）（, A1 , A3）（, A1 , A4）（, A1 ,B1）（, A1 ,B2）（, A2 , A3）,(A2 , A4）(B1 ,B2 )
图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
A．
B．
C．
D．
4．某中学 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的1.5 倍，为了更好地对比该校考
生的升学情况，统计了核校 2016 年和 2019 年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A．与 2016 年相比，2019 年一本达线人数减少
f (t)min
f
（4）
1 2
a
，即
ca c2
c ac a2
1 的最小值为
2
．
13． x y 4 0
14．1 3 6
3
15．
4
16． 4 3
解：设 ABC 的外心为 E ，则三棱锥 D ABC 的外接球的球心在过点 E ，垂直于平面 ABC
的平面的直线，设球心为 O ， ABC 的外接圆半径为 r ，设外接球的半径为 R ，
概率为________.
15．如图，在三棱锥V ABC 中， AB 2 2 ，VA VB ，VC 1，且 AV BV ， AC BC ，则二面角V AB C 的余弦值是_____．
16．已知球面上有 A、B、C、D 四点， AB=1， BC=3 ， AC= 7 ，
BD 2 6 ，且 BD 平面 ABC ，则此球的体积为______________. 3
， $a y $b x ．
i1 i
i 1
18．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， D 为 AC 的中点. （1）证明： AB1 // 平面 BC1D ； （2）证明： BD 平面 AA1C1C ； （3）若 AA1 AB ，求直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.
19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 40 名学生，将其成绩（均为整数）
共 15 个，其中同一分数段内所含基本事件为：
A1，A2
，
A1,
A3
，
A1,
A4
，
A2
,
A3
，
A2
,
A4
，
A3 ,
A4
，( B1 ,
B2
)
共
7
个，故概率
P
7 15
20．（1）
A
4
；（2）
a
5.
解：（1）根据三角形面积公式得： S 1 bc sin A ，
又因为 S
分别与直线
x
8 相交于 C, D
两点，记 OAB,OCD
的面积分别是 S1, S2 ．求
S1 S2
的取值范围.
答案
-4-
1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D 9．A
12．A
由
S△ABC
1 2
ac sin
B
可知，1
1 Байду номын сангаасc 2
1 2
，解得 ac
4，
10．D
11．D
由基本不等式得，
数学试卷
一、单选题
1．若直线 l1 : x ay 6 0 与 l2 : a 2 x 3y 2a 0 平行，则 l1 与 l2 间的距离为（ ）
A． 2
B． 8 2 3
C． 3
D． 8 3 3
2．某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840
③若 m ，n / / ，且 m n ，则
④若 m ，n / / ，且 m // n ，则
-1-
其中正确的命题是（ ）
A．②③
B．①③
C．①④
D．③④
6．如图所示，在正方体 AC1 中， E ， F 分别是 DD1 ， BD 的中点，则直线 AD1 与 EF 所成
角的余弦值是（ ）
.
4
即直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为 6 . 4
19．（1）0.3 （2）75%；71
（3） 7 15
（1）因为各组的频率之和等于 1，所以成绩在 70,80 的频率为
1 (0.025 0.015 2 0.01 0.005) 10 0.3 。
补全频率分布直方图如图所示：
因为 AB=1， BC=3 ， AC=
7
，所以 cos
A
AB2 AC2 BC2 2AB AC
179 27
1 27
，
所以 sin A
27
2r
，由正弦定理得，
BC sin A
3 6 7 27 27 ，所以 r =
21 ，
27
3
27
因为 BD 平面 ABC ， BD 2 6 ，所以 R 3
B．与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍
C．2016 年与 2019 年艺体达线人数相同
D．与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加
5．已知直线 m 、 n ，平面 、 ，给出下列命题：
①若 m ，n ，且 m n ，则
②若 m / / ，n / / ，且 m // n ，则 / /
-3-
20．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且 ABC 的面积 S 满足
S
1
AB
AC
1.
2
（1）求角 A 的值；
（2）若 BC 边上的中线长为 13 ，求 a 的值. 2
21．已知四边形 ABCD 是梯形(如图 1)， AB//CD ， AD DC ， CD 2 ， AB AD 1 ， E 为 CD 的中点，以 AE 为折痕把 ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置(如图 2)，且 PC 3 .
a
、b
、c
，已知
B
6
且 S△ ABC
1，则
a ca c2
c ac a2
的最小值为（
）
A． 1 2
B．2
1
C．
4
D．4
二、填空题
13．直线 l 与直线 x y 2 0 垂直，且它在 y 轴上的截距为 4，则直线 l 的方程为_______. 14．在边长为 2 的正 ABC 内任取一点 P ，则点 P 到 ABC 三个顶点的距离都不小于 1 的
随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
3．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体
它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)
在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视
a c 2
ac 2
4
a 4 ． ca c2
c ac a2
a c(a c)
c a(c a)
a2 c2 ac(a c)
(a c)2 2ac ac(a c)
，
令 t a c ，则 t [4 ， ) ，
a ca c2
c ac a2
f
(t)
t2 8 4t
1 (t 4
8) ，在 [4 ， ) 上单调递增， t
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数 120
105
100
90
85
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 $y $bx $a ；
（Ⅱ）预测该路段 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
n
n
参考公式： b
xi yi nxy
i 1
n
2
x nx2
xi
i 1
n
x yi y xi x 2
（3）由（2）知，BD 平面 AA1C1C ，所以 BC1D 即为直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成的角， 设等边 ABC 的边长为 2，则 CC1 AA1 AB BC 2 ，
所以在 Rt△BC1D 中， BD
3 ， BC1 2
2 ，所以 sin BC1D
BD BC1
2
3 2
6
r2
BD 2 2
21 6 99
3，
所以外接球的体积为 4 R3 4
3
3 4 3
3
3
17．（Ⅰ） y 8.5 x 125.5 ；（Ⅱ） 66 人.
解：（Ⅰ）由表中数据，计算； x 1 (1 2 3 4 5) 3 ， 5
y 1 (120 105 100 90 85) 100 ， 5
-5-
（2）在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，
因为 AA1 平面 ABC ， BD 平面 ABC ，所以 AA1 BD . 因为 ABC 为等边三角形， D 为 AC 的中点，所以 AC BD . 又因为 AA1 AC A ， AA1, AC 平面 AA1C1C ，所以 BD 平面 AA1C1C ；
y 8.5 x 125.5 ；
（Ⅱ） x 7 时， y 8.5 x 125.5 66 ，