12．D
【分析】
由题可得 是周期为2的函数，进而判断 是周期为2的函数，可求得 ， ， ，利用周期性即可求出零点个数.
【详解】
是定义在 上的奇函数， 也是奇函数，
， ，
是周期为2的函数，
的周期为2，
是周期为2的函数，
， ， ，
则在区间 上， ,
则 在区间 上的零点个数是 个.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）先利用一元二次不等式的解法化简结合A，再利用结合的补集和交集运算求解.
（2）根据 ，则 ，然后分 ， 讨论求解.
【详解】
（1）依题意，集合 ，
，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
①当 时， 与 矛盾，不符，
②当 时， ，
若 ，则
解得 ，
由①②得，实数 的取值范围是 .
∴ 对任意 恒成立.
令 ，
由（1）知 在 上单调递增，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 .
所以 ，即 ，
解得 .
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间D上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
【详解】
对①， ，则最小正周期为 ，故①错误；
对②，若 ，则 可能相等，故②错误；
对③，若 ，则 ，即 ，即 ，即 ，即 ，故③正确；
对④， ，令 ，则 ，故 是奇函数， ， ，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.
解得 (不符，舍去)或 ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上单调递增，
∵对于任意的 ，都有 ，
且 在区间 上恒有 ，∴ ，
则 ， ，
则 ，即 的最小值为 .
【点睛】
本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为 ，利用单调性求解.
（1）求 ；
（2）设集合 .若 ，求实数 的取值范围.
18．设函数 .
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数 在区间 上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若 ，求 的值.
19．设函数 .
（1）用定义证明函数 在区间 上是减函数；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最小值.
20．为减少人员聚集，某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当 中有 的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为： ，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：
19．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）任取 ，且 ，然后判断 的符号即可.
（2）将不等式 对任意 恒成立，转化为 对任意 恒成立，令 ，求其最大值，再解对数不等式即可.
【详解】
（1）任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，且 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 在 上是减函数.
（2）∵不等式 对任意 恒成立，
因为函数
所以 ，
所以 ，
故选：B
2．A
【分析】
先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】
因为集合 ， ，
所以 ,
故选：A
3．B
【分析】
利用函数单调性分别求出 范围即可比较.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：B.
4．C
【分析】
由 即可求出.
【详解】
由题可得 ，解得 ，
故B中元素 的原像可以是 .
（2）能成立： ； ；
20．（1） 或 ；（2）当 时 单调递减，当 时 单调递增，实际意义答案见解析
【分析】
（1）根据自驾群体的人均上班路上时间为： ，分 ， 两种情况讨论求解.
（2）根据上班族 的人均上班时间计算公式为： ，分 ， ，分别得到函数，然后再利用一次函数和二次函数的性质求解.
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是
故选：B
9．D
【分析】
根据直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，得到 ，再利用两角和与差的三角函数的公式求解.
【详解】
因为直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
故选：D
10．D
故选：A
7．A
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可得答案
【详解】
解：因为 ，
所以 为奇函数，所以其图像关于原点对称，所以排除C，D，
因为 ，所以排除B，
故选：A
8．B
【分析】
将不等式 在 上有解，转化为不等式 在 上有解求解.
【详解】
因为不等式 在 上有解，
所以不等式 在 上有解，
说明该地上班族 中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；
当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
21．（1）递增区间是 ；（2） .
【分析】
（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案；
（2）由 的范围求出 及 的范围，利用换元法分析 的单调性和最值，结合 与 两函数的图象的交点个数可得答案.
所以 ，
因为 ，
所以 即为 ，
，
因为 为增函数，
所以可得 ，则 或 ，
解得 或 ，
即不等式 的解集是 ，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
【详解】
（1）
，
∵ 的最小正周期为 ，且 ，∴ ，解得 ,
∴ ，设 ，
∵函数 的递增区间是 ,
由 ，
得 ，
∴函数 的递增区间是 .
（2）由（1） ，
当 时， ，
令 ，则 ，
∵ 在 上递增，在 上递减，
∴ ，
∵函数 在 上有两个不同的零点，
∵.函数 与 两图象在 上有两个不同的交点，
∴函数 与 两图象在 上有两个
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
22．（1） ；（2）最小值为 .
【分析】
（1）根据 是奇函数可求得 ，由 可得 ，继而判断 是增函数，将不等式化为 ，利用单调性可得 对 恒成立，即可求解；
江西省赣州市2020-2021学年度高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数 则 （）
A．-1B．1C．-27D．27
2．若集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
3．设 的大小关系是（）
13．4
【分析】
根据 ，将集合B的可能情况一一列举出来即可.
【详解】
因为 ，
所以 或 或 或 ，
所以集合B的个数是4，
故答案为：4
14．
【分析】
由 即可计算.
【详解】
，
.
故答案为： .
15．
【分析】
直接利用对数的运算性质以及指数幂的运算法则求解即可.
【详解】
，
故答案为：
16．③④
【分析】
①，化简可得 ，即可求出；②由 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得 ，利用奇函数的性质可得.
A． B．
C． D．
8．若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
9．设直线 与函数 ， ， 的图像在 内交点的横坐标依次为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
10．已知锐角 的顶点在原点，始边与 轴非负半轴重合.若角 的终边与圆心在原点的单位圆交于点 ，函数 在区间 上具有单调性，则角 的取值范围是（）
【分析】
由二次函数具有单调性可求得 ，进而得 ，即可求出 范围.
【详解】
在区间 上具有单调性，
，可得 ，
是锐角 终边上一点，
， ，
.
故选：D.
11．C
【分析】
先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得 ，将原不等式化为 ，等价于 ，进而可得答案.
【详解】
设 ， ，
所以 是偶函数，则 恒成立，
即 对任意 恒成立，
14．若 ，则 ___________.
15．计算： ___________.
16．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上).
①函数 的最小正周期为 ；
②若函数 ，且 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 .
三、解答题
17．已知全集 ，集合 ， .
（1）依题意得：①当 时， ，不符，