§17－5 平面波的波动方程 －
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =

λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
2 1
2 1
λ
2
1
r2 r1 = ±nλ, n = 012L ,,
A = A + A2 1
当
2 1
I = I1 + I2 + 2 I1I2 λ r r = ±( 2n +1) , n = 012L ,, 2
I = I1 + I2 2 I1I2
相长
A = A A2 1
相消
例:
两相干机械波，振源相位差π的奇数倍， 两相干机械波，振源相位差π的奇数倍， 点相遇， 在p点相遇，若波程差为半波长的偶数倍 点是加强还是减弱？ 问p点是加强还是减弱？
见Zlcai
O1 r1 P O2 r2
y2 = A2 cos(ωt +2 kr2 ) y = y1 + y2 = Acos(ωt +)
其中
A = A + A2 + 2 A A2 cos 1 1
2 2 2
设 当
= 1 2 k(r1 r2 ) 2π = = k(r r ) = (r r )
2 2 2
E = xω A sin (ωt kx)
单位体积中的机械能 单位体积中的机械能
E 2 2 2 ε= = ρω A sin (ωt kx) Sx
1T 1 2 2 ε = ∫ εdt = ρω A T0 2
二、波的能流密度 波的强度
单位时间内通过截面的波动能量称为能流 单位时间内通过单位垂直截面的波动能量 称为能流密度 称为能流密度
振动叠加发生在单一质点上 波的叠加发生在波的相叠区域 波动方程的线性决定了波服从叠加原理 波的强度过大→ 波的强度过大→非线性波 →叠加原理不成立 ★电磁波 麦可斯韦方程组的四个方程都是线性的 , 如果 r r r r D = εE和 = H 也是线性关系 -----B 解满足叠加原理。 解满足叠加原理。 光波在媒质中传播时 光波在媒质中传播时 弱光 媒质可看作线性媒质 媒质非线性,波的叠加原理不成立 强光 媒质非线性 波的叠加原理不成立
解:
= 1 2 k(r1 r2 )
= ( 2k +1)π
1 2
r1 r2 = 2n
λ
2
∴ = ( 2k +1)π
振动减弱
2π
λ
nλ = ( 2k +1 2n)π
例:
3 设两相干波源P,Q，相同振幅，PQ = λ 设两相干波源 ， 2
R为PQ连线上任一点，求R点振动的振幅 为PQ连线上任一点， 连线上任一点 点振动的振幅
从参考圆可知:φ1=π/3 从参考圆可知
π
3
y
⑵
10 0.5 +10 x π +π y′ = 0.04cos100πt + 2π 3 2 11 = 0.04cos100πt + πx + 6 因波节间距离为λ/2=1m,又x2是节点，所以节点坐标 ⑶因波节间距离为 又 是节点，所以节点坐标: x=0,1,2, …10m 波腹坐标: 波腹坐标 x=0.5,1.5, …9.5m
12
2
单位： 单位：贝尔（bel） ）
1 1dB = bel 10
声波, 超声波， 声波 超声波，次声波
§17－8 波的叠加 波的干涉 －
一、波的叠加原理 １.波的独立性原理 波的独立性原理 几个波源产生的波，在传播过程相遇时 每个波的 几个波源产生的波，在传播过程相遇时,每个波的 波长，频率，振动方向， 波长，频率，振动方向，传播方向都不因其它波 的存在而改变。即各个波相互间没影响， 的存在而改变。即各个波相互间没影响，每个波 的传播就象其单独存在时一样。 的传播就象其单独存在时一样。 ２.波的叠加原理 波的叠加原理 当几列波在媒质中某点相遇时， 当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是 各个波单独存在时引起该点振动的合振动即该 点位移是各个波单独在该点引起的位移的矢量和。 点位移是各个波单独在该点引起的位移的矢量和。
[
2
2
]
1 2
2
1 y 2 1 y E = Ek + Ep = x( ) + Tx 2 t 2 x
对于平面简谐波
2
1 2 2 2 Ek = xω A sin (ωt kx) 2 1 Ep = Txk 2 A2 sin2 (ωt kx) 2
Qu =
ω
k
=
T
∴Ek = Ep (同步变化)
⑷I=0
2 2 x+dx x
T
dx
t
2
x
2
§17－6 波的能流密度和强度 －
一、机械波的能流密度
x
设 y = Acos(ωt kx)
o
1 y 2 Ek = x( ) 2 t
y
1 2
u A
B
x
y x → ( x) + ( y) = x1+ 1 x 2 2 2 1 y Ep = Tx1+ x ≈ Tx y x x 2
u
S
r r J = εu
波的强度
1T uT I = J = ∫ Jdt = ∫ εdt = uε T0 T0
对于平面简谐波
1 2 2 I = ρω A u 2
SI : W m
2
球面简谐波的波动式： 球面简谐波的波动式：
1 2 2 I1 = ρA ω u 1 2
r1 r2 o
1 2 2 I2 = ρA2 ω u 2
π
2
n = 012L 波节 ,,
λ
2
x =
x =
λ
4
４.相位 相位 作振幅为
2 A cos kx 的简谐振动
两相邻波节之间的质元相位相同 每一波节两侧各质元相位相反 ５.能量 能量 波节只有势能， 波节只有势能，波腹只有动能 当所有各点达到最大位移， 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能 当所有各点达到平衡位置， 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能 经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能 ，
在无吸收时,通过两球面的能流相等 在无吸收时 通过两球面的能流相等
I14πr1
2=I
24πr2
2
A r 1 = 2 A r 2 1
A y = 0 cos(ωt kr) r
三、声波 频率范围 声强级
声强级
20 20000Hz
I L = log I0
分贝(dB） ） 分贝
I0 = 10 W / m
2
解:⑴波速 ⑴
10 = =100m u= 3 s 10
F
波长
u 100 λ= = = 2m ν 50
π
3
x x1 y = Acos2πν +φ1 2π t λ x 0.5 π = 0.04cos100πt + 2π 3 2 5 = 0.04cos100πt πx + π 6
四、简正模式 两端固定的张紧弦中产生驻波
n
λ
2
=L
n = 12,3 , L
nu υ= = λ 2L
u
n =1,2,3 L 简正频率
对应的驻波称为弦的简正模或 对应的驻波称为弦的简正模或固有振动 简正模
n=1
n=2
例、如图所示，在一根线密度=10－3kg/m和张力 如图所示，在一根线密度 和张力 F=10N的弦线上 沿x轴正方向传播简谐横波 其频率 的弦线上,沿 轴正方向传播简谐横波 轴正方向传播简谐横波,其频率 的弦线上 ν=50Hz,振幅 振幅A=0.04m。巳知弦线上离坐标原点 振幅 。 处的质点在t=0时刻的位移为 且沿y轴 X1=0.5m处的质点在 时刻的位移为 A ,且沿 轴 处的质点在 时刻的位移为+ 且沿 2 负向运动,当波传播到 当波传播到x 处固定端时,被全部反 负向运动 当波传播到 2=10m处固定端时 被全部反 处固定端时 试写出: 射。试写出 入射波的波动方程; ⑴入射波的波动方程 反射波的波动方程; ⑵反射波的波动方程 y ⑶入射波与反射波叠加的 u 合成波在0≤x≤10m区间 合成波在 区间 内各波节和波腹处的坐标; 内各波节和波腹处的坐标 合成波的平均能流密度。 ⑷合成波的平均能流密度。 . x .1 o x x