(4-28)
我们常将波源周围的空间由近及远分为近区，中区和远区，它们也分别称为电抗区， 菲涅尔区和夫琅和费区。对于远区，也就是夫琅和费区，取以下近似：
则辐射电场为
R r r' er 1 1 Rr eR er
E (r ) j e jkr
4 r
V
J
(r
')
J
(r
')
er
er
J
m
(
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E(r) jen H(r ')g en E(r ') ' g en E(r ') ' gdS ' S
H(r) jen E(r ')g en H(r ') ' g en H(r ') ' gdS ' S
也可采用由标量基尔霍夫公式(4-10)得到的矢量基尔霍夫公式
(4-52) (4-53)
式中闭合面的法向单位矢量 en 的正方向指向体积 V 内。在此散射问题中场源只可能存
在于两个区域，一个是 S ' 以外的区域，入射波就是由这个区域中的源产生的；另一个
是 S 面内的区域，这个区域的源産散射波。在大球面 S ' 上，被积函数中的电磁场可表
示为入射场与散射场之和，即
j J m ( r ') ' ' J ( r ') '
gdV '
对于上式积分中的第三项，因
(4-26)
' J (r
')
'g
J(r
&39;
ey
g y '
ez
g
z
'
其中
'
J
(r
')
g x '
'
J
(r
')
g x '
J
(r
')
'
g x '
'
J
(
r
')
g y
'
'
在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场或 矢量位函数的直角坐标分量或德拜位满足 非齐次标量亥姆霍兹方精品程课件
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惠更斯原理
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绕射场(衍射场)
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4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分 解
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L
N
E
j
4 r
e jkr
L
N
式中
L J ( r ') e jkr' e r d V '
V
L J ( r ') e jkr'er d V '
V
N
J
m
(r
') e
jk r' e r
d
V
'
V
N
J
m
(
r
') e jkr'er d V
'
V
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背景
电磁波问题的求解，都可以归结为求解 齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对 这类二阶偏微分方程，一般可以采用微 分法和积分法。解的表达式主要分为级 数形式和积分形式。
上一章介绍的解法就是采用微分法，将 解用波函数表示为级数形式。本章介绍 积分法，将解表示为积分形式。
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4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解
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下面讨论口径边缘的线电流和线磁流与口径场的关系。
按基尔霍夫近假设，设表面电流 J S 仅存在于口径面 A 上，封闭面上口径面以外的 其余曲面 S 上无表面电流，如图 4-4 所示。根据电流连续性原理，电流密度 J 与电荷密
度 的关系为
J dS j dV
S
V
(4-40)
S
J Jm
V A
V
j
J
(r
')
g
J
m
(r
')
'
g
'
g
dV
'
(4-42)
利用矢量恒等式 ABC AC B A BC 和 ABC AC B A BC
上式变为
l
et H j
(4-43)
利用对偶原理，口径边缘线磁荷与口径电场之间的关系为
lm
et E j
(4-44)
根据式(4-25)，口径边缘线电荷与线磁荷産的电磁场为
(4-48)
H (r)
1
j
A
k 2 en E en E ' '
j en H '
gdS '
(4-49)
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对于夫朗和费区的辐射场，对 R 取一级近似，并取
en H ' ' g k 2 en H er ger en E ' g jk en E er g
3.8 理想导电圆球对球面波的散射
*3.9 分层媒质上的电偶极子
*3.10 矢量波函数
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第4章 波动方程的积分解
*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解 *4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场与辐射矢量 4.4 口径衍射场 *4.5 电场和磁场的积分方程
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E(r) 1
4
S
e jk r r '
rr'
E(r ') E(r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39a)
H (r) 1
4
S
e jk r r '
r r'
H (r ') H (r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39b)
式(4-25)与式(4-39(是一致的，可以由式(4-25)导出式(4-39)。利用式(4-25)计算电磁场需 要已知封闭面 S 上的场，如果要计算口径衍射场，仍可利用前面介绍基尔霍夫近似假 设。但是由于基尔霍夫近似假设忽略了口径面以外的导体表面上的表面电流，所以计
图4-4 口径衍射
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那么，在口径边缘上的线电荷密度 l 与边缘侧的表面电流密度 J S 的关系为
JS en et jl
(4-41)
式中 en 为口径面的法线单位矢量，et 为口径面边缘曲线的切向单位矢量。口径表面 J S 与
口径磁场的关系为
代入式(4-41)得
JS en H
E(r
)
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4.3 辐射场和辐射矢量
对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源分布， 电 磁 场 可 由 式 (4-24)中 通 过 对 源 的 体 积 分 计 算 。 本 节 讨 论 式 (4-24)在 远 区 的 近 似 表 示 式 。 将 式 (4-24)重 写 如 下 ：
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在散射问题中，可以取散射体的表面或包围散射体的适当的闭合面作为 S 面，而将 S ' 面
扩展到远处取为半径十分大的球面，并使场源位于 S ' 面之外。这时由于体积 V 内没有
体分布的场源，电磁场的积分表示式(4-21)中的体积分为零，仅有面积分项：
E(r) jen H(r ')g en E(r ') ' g en E(r ') ' gdS ' S S ' H(r) jen E(r ')g en H(r ') ' g en H(r ') ' gdS ' S S '
x '
'g
Jy
y '
'g
Jz
z '
'g
jk
1 R
1 R
J
k 2(J
eR )eR
3 R
jk
1 R
(
J
eR )eR
g
J m
'
g
jk
1 R
J m eR
g
对于辐射场，仅保留 1/R 项，得：
1
E (r) j V
k 2 J ( r ') k 2 J ( r ') e R e R k J m ( r ') e R g d V ' 精品课件
E(r) 1
l
l (r ') ' gdl '
j
et H ' gdl '
l
H (r) 1
l
lm
(r
')
'
gdl
'
j
l
et E ' gdl '
(4-45) (4-46)
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对式(4-45)的每一直角坐标分量利用斯托克斯定理将闭合线积分转化为面积分，并利用
fA f A f A 等矢量恒等式进行整理得
r
')
e
r
e
jkr'
er
d
V
'
同理可得辐射磁场为
(4-29)
H (r ) j e jkr
4 r
V
J
m
(r
')