一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
所以E的算符是 E i 源自t E i t一、波动方程
薛定谔方程的理解与意义：
波函数
（ r ）和 E 分别代表粒子的微观状态 （它的平方就是粒子在空间出现的概 率）和对应的能量。
薛定谔 (Erwin
Schrodinger,1887-1961)
d 2u 2mE 2mE 2 2 u k u; k 2 dx x 2 设ue 那么 u " u 代入上式
u k u;
2 2
ik
ikx
故
u Ae
ikx
Be
u C cos kx D sin kx
2式就是绿色区域的通解。
(2)
2 2 H V (r ) 哈密顿算符 2m
如果H中不包含时间，即V(r)不含t：
(r , t ) u( x, y, z) f (t )
i df 1 2 2 分离坐标和时间： u Vu u 2m f dt
一、波动方程
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，要相等，只能等 于一个常数E，那么右边：
2
n
(6)
一、波动方程
Hn(φ)
n Hn(φ)
0
A0
1
A1(φ)
2
A2(1-2φ2)
3
A3(3φ-2φ2)
4
A4(3-12φ2+4φ4)
一、波动方程
方程5是满足波函数条件的本征函数。为了使函数满足有限条件， 演算中必须有λ＝2n+1，n是整数。由4式：
2E 2n 1 1 1 E n n h , 2 2


2mE 2E m 2E 2 2 (3，4) k
2 是振
其中 k m 2 是简谐振子的角频率， 动频率。
方程3的解是：
1 2 2
u( ) H n ( )e
其中 H n ( ) 是厄米多项式：
n
(5)
d 2 H n ( ) (1) e e n d
p i
得算符方程：
作用在能量 E 2 动量关系式： 2
作用在波函数A(r,t) 1 2 2 A 上即得波动方程 2 2 c t
c 克莱因-戈尔登方程，描述自由介子，不能描述氢原子。
p m c
2
2 2
1 2mc 2 2 ( ) 2 2 c t h
代表力学量的算符
一个力学量可以用一个算符来表示，下面是薛定谔方程中 常用的算符：
0e
2 i p r Et h
0e
i px x p y y pz z Et


波函数两边取对x的偏导
i px x p x i x
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
设ue
x
, u " 2u
2 2
，代入上式
u u;
故

x
u Ae 1
a 当 x 2 a 当 x 2
B1e
x
p是动量算符，而α 和β 是4³4矩阵 由这个哈密顿量给出的薛定谔方程称为狄拉克方程，它是狄拉克 在1928年提出来的。狄拉克用它不仅算出了氢原子能级的精细结 构，并且解释了电子的自旋角动量和固有磁矩，还进一步语言了 正电子的存在。 薛定谔与狄拉克因波动方程的提出同获1933年诺贝尔物理学奖。
一、波动方程
u A1 0 B1 0 u A1 B1 0 0
u0
一、波动方程
再来考虑绿色区域的2式：
u C cos kx D sin kx
根据波函数连续条件，在 x a 2 处，绿区红区u的取值 应该一样，由于红区u＝0，故绿区的u也是0，那么
(2)
内容复习
德布罗意波 光谱 里德伯公式
玻尔理论的三个假设
氢原子r，E 的公式
文化物理
南京航空航天 大学理学院 朱岩
yzhu@ /phyandart/
德拜：德布罗意波只有波动理论，没有波 动方程，太肤浅了。
第七章
• • • • 波动方程 轨道角动量 电子自旋 量子数及元素周期表
n＝2，4，6 …
一、波动方程
的值应该为0，故
n u C cos x a n u D sin x a
n＝1，3，5 … n＝2，4，6 …
一、波动方程
验证：
势阱中的驻波只能如图所示，有：
6 5 4 3 2 1
2 2a n n a n 1, 2,3,... n 1, 2,3,...
设u＝eβx，则u”＝β2 u，那么
k2
2m V E
u k u,
2 2 2
k2
B2e
k2 x
u2 A2e
k2 x
（3）
2，3两式第一项都表示从左向右运动的粒子，第二项则是经 过边界反射后从右向左运动的粒子。
一、波动方程
在III区，V＝0：
d 2u 2mE 2 u k 3 u, 2 2 dx
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
7.2.1 一维无限深势阱 定义一维势阱： a a V＝0 当 x
2
2
a a x 或者 x V＝∞ 当 2 2
求解能量为 E （有限）的粒 子的运动状态就需要求解定 态薛定谔方程：
Hu Eu 2 2u Vu Eu 2 2m x
(1)
一、波动方程 先解绿色区域的方程，此时V＝0，式1成为：
2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t

ka 2 D sin 0 2 ka (0,1, 2,...) 2
(5)
a
(1,3,5,...)
k

a
(0, 2, 4,...)
(6)
5，6两式合并：
2mE k n a 2 2 2 En 2 2ma
n 0,1, 2,... n 1, 2,3,...
(7)
一、波动方程
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表 示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置 的距离）满足：
u 2 2 c u 2 t
2
u(x,t)
x
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c 为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力 不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具）上，波速可以慢到1米/秒
i df E f dt
f f 0e
iE t
u ( x, y, z )e
iE t
E就是系统的能量。E为常数的状态称为定态。ψ ψ *＝uu*，所以 发现粒子的几率与时间无关。