专题5：分式第1讲 分式的运算赛题练习1.（江苏省竞赛题）已知122a b b a +=+，则ab为（ ） A.1-B.2C.1D.不能确定2.（第17届江苏省竞赛题）若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个3.（2005年武汉市竞赛题）如果0a b c ++=，1110123a b c ++=+++，那么222(1)(2)(3)a b c +++++的值为（ ）A.36B.16C.14D.34.（2005年天津市竞赛题）若a b x a b -=+，且0a ≠，则ba等于（ ） A.11xx-+ B.11xx +- C.11x x -+ D.11x x +- 5.（2004年重庆市竞赛题）设有理数a 、b 、c 都不为零，且0a b c ++=，则2221b c a ++-22222211c a b a b c ++-+-的值是（ ） A.正数B.负数C.零D.不能确定6.（北京市竞赛题）存在这样的有理数a 、b 、c 满足a b c <<，使得分式111a b b c c a++---的值等于（ ）A.2003-B.0C.2003D.7.（2008年天津市竞赛题）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲一半的时间以a km/h 的速度行走，另一半时间以b km/h 的速度行走；而乙一半的路程以a km/h 的速度行走，另一半的路程以b km/h 的速度行走（a 、b 均大于0且a b ≠），则（ ） A.甲先到达B 地B.乙先到达B 地C.甲乙同时到达B 地D.不确定8.（祖冲之杯竞赛题）已知11123x y -=，则代数式23432x xy yx xy y+---的值为__________. 9.（2005年全国初中数学联赛题）使代数式2111x y x +=+的值为整数的全体自然数x 的和为_____________.10.（2004年我爱数学夏令营竞赛题）已知325x yy x y=-，那么当24128x y -+-达到最大值时，2233x y -=__________.11.（湖北省选拔赛试题）若关于x 的方程212x ax +=--的解为正数，则a 的取值范围是__________. 12.（第14届希望杯竞赛题）已知212606a a +-是正整数，则正整数a =__________.13.（第1届中学生数学智能通讯赛试题）已知1abc =，则关于x 的方程2004111x x xa ab b bc c ca++=++++++的解是___________.14.（镇江市竞赛题）学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品.那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买__________枝.15.（河北省初中数学创新与知识应用竞赛题）如果3121231t t t t t t ++=，则123123t t t t t t 的值是____________. 16.（2004年河北省竞赛题）观察下面的算式：0000⨯=-，111122⨯=-，….根据算式反映出的规律，再写出满足这个规律的两个算式___________.17.（1997年重庆市初中数学竞赛题）若分式2231x x x --+的值为零，求x 的值.18.（1999年全国初中数学竞赛广西赛区初赛题）如果分式2||323x x x ---的值为零，求x 的值.19.（希望杯竞赛题）已知56789012346789012345A =，56789012356789012347B =，试比较A 与B 的大小.20.（绵阳市竞赛题）已知1x y za b c++=，0a b c x y z ++=.求证：2222221x y z a b c ++=.21.（2004年河北省竞赛题）已知()1xf x x=+，求下式的值： 111200420032f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(0)(1)f f f ++++(2)(2003)f f +++(2004)f .22.（第14届五羊杯竞赛题）已知正整数n 大于30，且使得41n -整除2002n ，求n 的值.23.（第18届五羊杯竞赛题）若20052005200420042006200620052005P =-，20042004200320032005200520042004Q =-，1120052006R =-，则P 、Q 、R 的大小关系是__________（注：写出P 、Q 、R 两两的大小关系）24.（2005年荆门市初中数学竞赛题）已知α是方程2104x x +-=的根，则354321ααααα-+--的值等于___________.25.（第17届希望杯竞赛题）若0m n p +-=，则111111m n p n p m p m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于___________.26.（第4届美国数学邀请赛试题）使3100n +能被10n +整除的正整数n 的最大值是多少？27.（江苏省竞赛题）某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，求11111a b c c +++++的值.28.（北京市竞赛题）设a b x a b-=+，b c y b c-=+，c az c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z ++⨯+=---.29.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值.30.（长春市竞赛题）若a 、b 、c 为非零实数，且0a b c ++=，试求：||||||||||||a b b c c aa b b c c a ++的值.31.（1999年北京市竞赛题）计算3331999100099919991000999--⨯⨯的值.32.（1991年浙江省初中数学联赛题）当x 为何值时，式子1111x x +-无意义.33.（哈尔滨市竞赛题）已知1111a b c a b c++=++=，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1.34.（深圳市竞赛题）求证：()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b ---++------222a b b c c a=++---.35.（西安市竞赛题）计算()()()()()()()()()()44222444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++的值.36.（希望杯竞赛题）已知1111a b c a b c ++=++，求证：2007200720072007200720071111a b c a b c ++=++.37.（上海市竞赛题）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且111a b c d b c d +=+=+=+1k a=，试求k 的值.38.（1985年全国初中数学联赛题）已知(0,1)x x ≠±和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数这3种运算（可以用括号），用6步算出2x ，写出计算的表达式.问题解决例1.（1）若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为______.（2）如果整数()1a a ≠使得关于x 的一元一次方程232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为______.例2.已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，4abc =.那么11a b c1++的值（ ） A.是正数 B.是零 C.是负数D.可正可负例3．计算： （1）2411241111x x x x+++-+++； （2）()()()()()()()11111122399100x x x x x x x x +++++++++++.例4.A ，B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同.其中，A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问：谁的购买方式合算？例5.分式中的欧拉公式：欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹.下面是关于分式的欧拉公式，请证明：()()()()()()()()()00,1,12,3.rrrr a b c r a b a c b c b a c a c b a b c r ⎧=⎪⎪++==⎨------⎪++=⎪⎩时时时例6.分子为1的真分数叫做“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如511623=+. （1）把712写成两个单位分数的和； （2）研究真分数13x，对于某些x 的值，它可以写成两个单位分数的和. 例如当42x =时，13114267=+. 你还能找出多少x 的值，使得13x可以写成两个单位分数的和？数学冲浪 知识技能广场1.埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识.整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数.在一部记录古埃及数学的《莱因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“2n ”型分数分解成单分数的结果，如2115315=+，2117428=+，2119545=+，则()()21111=+.更一般地，有()()21121n =+-（n 取大于2的自然数）.2.（1）要使分式241312a a a-++没有意义，则a 的值为______.（2）当m =______时，分式()()21332m m m m ---+的值为零.3.若()()121212121a bn n n n =+-+-+对任意自然数n 都成立，则a =______，b =______；计算11111335571921m =++++=⨯⨯⨯⨯______.4.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：121212312222111y y x x y y y x y y −−−→=−−−→=−−−→=−−−→+++第次第次第3次输入则第n （n 为正整数）次运算的结果为______.5.甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，则下列结论中正确的是（ ） A.甲、乙同时到达B 地 B.甲先到达B 地C.乙先到达B 地D.谁先到达B 地与速度v 有关6．已知114a b-=，则2227a ab ba b ab ---+的值等于（ ） A.6B.6-C.215 D.27-7．化简22422244x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪+--+⎝⎭，其结果是（ ）. A.82x -- B.82x - C.82x -+ D.82x + 8．方程301x y x +-=+的整数解有（ ）组. A.1B.2C.3D.49．先化简：22212211211x x x x x x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.10.计算：（1）21131244x x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭；（2）()()22122442a a a aa a a a a +-⎡⎤-÷⎢⎥--+-⎣⎦.11.试证明下列等式成立：（1）()()()2222111111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++ ⎪---⎝⎭---； （2）()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a---++=++---------.思维方法天地12.若分式()()()()222342422x x x x +--+的值是正整数，则整数x =______.13.若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++-+-++++，则a 的值是______. 14.已知()()()23234831111x x A B C x x x x ++=++----，其中A ，B ，C 为常数，则32A B C ++=______. 15.已知1xy x y =+，2yzy z =+，3zx z x=+则x =______. 16.代数式32411241111x x x x x x +++-+++的化简结果是（ ） A.5681x x - B.4881x x - C.7841x x - D.7881x x - 17．设有理数a ，b ，c 都不为零，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值是（ ） A.正数B.负数C.零D.不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米/时的速度行走，另一半时间以b 千米/时的速度行走；而乙用a 千米/时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米/时的速度行走（a ，b 均大于0，且a b ≠），则（ ）. A.甲先到达B 地B.乙先到达B 地C.甲、乙同时到达B 地D.甲、乙谁先到达B 地不确定19．当 1.67a =， 1.71b =，0.46c =时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++=--+--+--+（ ）. A.20 B.15 C.10 D.5.5520．太平盛世，吉祥如意，“神舟”五号，豪气冲天.若2995n +能被5n +整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数.据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值.21.已知()1xf x x=+，求下式的值： ()()()()()()111101220032004200420032f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应用探究乐园22.用水清洗蔬菜上残留的农药.设用()1x x ≥单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为11x+. 现有()2a a ≥单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次. 试问：用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由.23.一分为二任何一个单位分数1n都可以写成两个单位分数的和：111n p q =+（n ，p ，q 都是正整数）.显然，这里的p ，q 都大于n .如果设p n a =+，q n b =+，那么有111n n a n b=+++. （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）； （2）写出16等于两个单位分数之和的所有可能情况.第2讲 分式的化简求值赛题练习1.（2005年天津市竞赛题）若a b x a b -=+，且0a ≠，则ba等于（ ） A.11xx-+ B.11xx +- C.11x x -+ D.11x x +- 2.（第18届江苏省竞赛题）已知1110a b c++=，2221a b c ++=，则a b c ++的值等于（ ） A.1B.1-C.1或1-D.03.（第17有意义，则x 的取值范围是（ ）A.4x >B.7x ≥且5x ≠C.4x >且5x ≠D.45x <<4.（第18届五羊杯竞赛题）已知223x y -=，则23796x y xyxy y x--+-的值为（ ） A.14 B.14-C.13-D.135.（河南省竞赛题）已知111a b a b +=+，那么b aa b +的值为（ ） A.1B.1-C.2D.2-6.（太原市竞赛题）已知1abc =，2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为（ ） A.1B.12-C.2D.23-7.（第17届五羊杯竞赛题）化简繁分数：423(7)1337986(2)9(8)62-+----+----+--------等于（ ） A.2- B.0 C.1- D.18.（第17届五羊杯竞赛题）设322x yx y-=+，则2222(32)(3)(4)(22)x y x y x y x y +----+等于（ ） A.3925B.3925-C.3920D.3920-9.（2005年山东省竞赛题）化简22248x x xx y y x x y ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭得（ ） A.34x y+ B.34x y+-C.34x y+-D.34x y+10.（第18届江苏省竞赛题）设2211(1)(1)S x x =++-，那么S 与2的大小关系是（ ） A.2S = B.2S <C.2S >D.S 与2之间的大小关系与x 的取值有关11.（2004年全国初中数学联赛题）已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab ++的值为（ ） A.3B.2C.1D.012.（第18届五羊杯竞赛题）设23x y x y-=+，其中,0x y ≠，则3333(23)(32)(42)(7)x y x y x y x y ---=+--（ ） A.1- B.1 C.14134075D.14134075-13.（祖冲之杯竞赛题）设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果a c c bb a b a-==+，那么（ ） A.32b c =B.32a b =C.2b c =D.2a b =14.（第18届五羊杯竞赛题）化简繁分数：111123233(2)3(2)---+--+-------等于（ ） A.25 B.25-C.2-D.215.（希望杯竞赛题）若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==，则()()()a b b c c a abc+++=__________.16.（第15届希望杯竞赛题）已知a 、b 、c 、d 为正整数，且47b d a c -=，17(1)b d a c +-=，则ca的值是__________；db的值是__________. 17.（第17届五羊杯竞赛题）已知113x y =+，则2523x xy y y xy x--=+-_________. 18.（2005年河南省竞赛题）已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则式子3220042005(1)()()x m n ab x m n x ab -++++++的值等于__________.19.（2005年河南省竞赛题）已知：11a a -=，则881a a+=__________. 20.（2003年全国初中数学竞赛题）已知1x =2111242x x x +-=+--__________. 21.（第17届江苏省竞赛题）已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a ++=++，则m =__________. 22.（中学生数学智能通讯赛试题）若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=，且24abc =，则111a b c bc ca ab a b c++---的值为_________.23.（北京市竞赛题）已知x 、y 、z 满足1x y z y z z x x y++=+++，求代数式2x y z ++22y z x z x y +++的值.24.（2008年辽宁省竞赛题）化简并求值：222x y xyx y y x x y -++--，其中x =-，y =25.（黄冈市竞赛题）若3x y z ++=，求333(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z ----+-+-的值.26.（上海市竞赛题）化简：333333333321b a b a a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.27.（河北省竞赛题）已知x y z a b b c c a ==---，求200220032004x y za b c++++的值.28.（第10届华杯赛试题）已知：1ax by cz ===，求444411111111a b c x +++++++441111y z ++++的值.29.（波兰竞赛题）设a 、b 、c 满足1111a b c a b c ++=++，求证：当n 为奇数时，1111n n nn n n a b c a b c=++++.30.（2006年国际城市竞赛题）老师说：“a 、b 两个数满足关系式1a b ab +-=.已知a 不是整数，则对b 可作出怎样的结论？”学生A 说：“b 也不是整数.”学生B 说：“我认为b 必定是正整数.”学生C 说：“我认为b 必定是负整数.”三位同学谁说的是正确的，为什么？31.（第9届希望杯竞赛题）已知p 与q 互为相反数（0p ≠），s 与t 互为倒数.求333322p q s t p q s t st ++--+的值.32.（2005年北京市竞赛题）已知非零实数a 、b 、c 满足0a b c ++=. （1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求a b b c c a ca b ca b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭的值.33.（海口市竞赛题）已知3(0)x y z a a ++=≠，求： 222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-.34.（1983年哈尔滨市竞赛题）如果123x y z z x ==++，求z yx+的值.35.（1988年武汉、重庆、广州、洛阳、福州初中数学联赛题）如果13x x +=，求2421x x x ++的值.36.（济南市竞赛题）已知0x y z ++=，0xyz ≠，求111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.37.（第9届希望杯竞赛题）已知0a ≠，0b ≠，且114a b +=，求434323a ab ba ab b++-+-的值.38.（第8届五羊杯竞赛题）设x a y z =+，y b z x =+，z c x y =+，且0x y z ++≠，求111a b ca b c +++++的值.39.（1995年天津市竞赛题）设1x y zm n p++=，0m n p x y z ++=，计算222222x y z m n p ++的值.问题解决例1.已知210x x --=，则4521x x x ++=______.例2.a ，b ，c 为非零实数，且0a b c ++≠，若a b c a b c a b c c b a+--+-++==，则()()()a b b c c a abc +++等于（ ） A.8B.4C.2D.1例3．如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，求a b cb c c a a b+++++的值.例4.已知210a a --=，且4232232931122a xa a xa a-+=-+-，求x 的值.例5.已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且111a b c x b c d+=+=+=，试求x 的值.例6.已知1ab =，求证：11111a b+=++.数学冲浪 知识技能广场1.（1）当2m n =时，()2222m n m n m mn n +⋅--+的值为______、. （2）若0456c b a ==≠，则b ca+的值为______. 2.已知实数24410x x -+=，则代数式122x x+的值为______. 3.若115a b a b +=+，则2222b a a b+=______.4.已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b-=______. 5.若13x x +=，则2421x x x ++的值为（ ）A.10B.8C.110 D.186．若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）. A.1B.1-C.17-D.157．当16m =-时，代数式2221533399m m m m m m m m ---÷-++--的值是（ ） A.1-B.12-C.12D.18．已知27a a -=，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ）A.3B.72C.4D.59．化简求值：222142244a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭，其中a 满足2210a a +-=. 10.已知y z x z x y x y zp x y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值.思维方法天地11.若0abc ≠，且a b b c c ac a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++=______. 12.已知实数a ，b ，c 满足11a b c ++=与1111317a b b c c a ++=+++，则a b cb c c a a b+++++的值是______.13.已知a ，b ，c 满足1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c a c a b +++++的值为______. 14.已知2410a a ++=，且42221533a ma a ma a++=++，则m =______.15.已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abcab bc ca++的值是（ ） A.121 B.122C.123D.12416．已知正实数a ，b ，c 满足：23a x b c =+，23b y c a =+，32c z a b=+，则111x y zx y z +++++的值为（ ） A.1B.32C.2D.317．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A.0B.3C.6D.918．若a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，则a ，b ，c 中（ ） A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不相等 19．已知0x y z --=，2240y y +-=，求xy y-的值.20.已知1ax by ca ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值.应用探究乐园21.已知实数a ，b ，c 满足1abc =-，4a b c ++=，22249313131a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值.22.非法约分下面问题是美国学者马克士威尔在其著作《数学中的谬误》中首先提出的： 有个小学生漫不经心地作了下列错误的“约分”：166414=，266525=，闹出大笑话，令人惊讶的是，约分虽然不合理，但结果却是对的.这当然不是一种普遍现象，请你找出使这种“约分”成立的其他分子、分母为两位数的真分数.例1 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ）. A.1m >- B.1m ≥-C.1m >-且1m ≠D.1m ≥-且1m ≠例2．解方程：2344342334x x x x+-+=++-.例3.若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值.例4.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，小红和王兵二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时，步行匀速登梯，小红登了55级后到达楼上，王兵登梯速度是小的2倍，王兵登了60级后到达楼上，问：由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？练一练1.关于x 的两个方程2430x x -+=与121x x a=-+有一个解相同，则a =______. 2.（1）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =______. （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m =______. 3.若关于x 的分式方程212x ax +=--的解是正数，则a 的取值范围是______. 4.（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是______. （2）方程222111143256712x x x x x x x ++=+++++++的解是______. 5.已知关于x 的分式方程52ax x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ） A.5a =或0a = B.0a ≠C.5a ≠D.5a ≠且0a ≠6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A.1m >- B.1m >-且0m ≠ C.1m <-D.1m <-且2m ≠-7．张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件.若设张三每小时加工这种零件x 个，则下面列出的方程正确的是（ ） A.1201005x x=- B.1201005x x =-C.1201005x x=+D.1201005x x=+8．关于x的方程22x cx c+=+的两个解是1x c=，22xc=，则关于c的方程2211x ax a+=+--的两个解是（）.A.a，2aB.21,1aa--C.a，21a-D.a，11aa+-9．观察下列方程及其解的特征：（1）12xx+=的解为121x x==；（2）152xx+=的解为12x=，212x=；（3）1103xx+=的解为13x=，213x=；……解答下列问题：（1）请猜想：方程1265xx+=的解为______；（2）请猜想：关于x的方程1xx+=______的解为1x a=，()21x aa=≠；（3）下面以解方程1265xx+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性；（4）解分式方程2131462a axx a+++=-.10.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元. （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出.如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？11.如果，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去. （1）若汽车的行驶速度是30米/秒，在距离山壁925米处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？（2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5秒再次鸣笛.若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4秒，求汽车的行驶速度.（已知声音在空气中的传播速度是340米/秒）第3讲 含字母系数方程和分式方程1.（全国数学联赛题）若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a b c +=，b c d +=，c d a +=，则a b c d +++的最大值是（ ）A.1-B.5-C.0D.12.（第11届希望杯竞赛题）如果220a b +>，方程0ax b +=，则x 有（ ） A.一个根B.无根C.无数个根D.一个根或无根3.（江苏省竞赛题）已知a 是任意有理数，在下面说法 （1）方程0ax =的解是1x =； （2）方程ax a =的解是1x =； （3）方程1ax =的解是1x a=； （4）方程||a x a =的解是1x =±； 结论正确的个数是（ ） A.0B.1C.2D.34.（第15届江苏省初中数学竞赛题）已知式子(8)(1)||1x x x -+-的值为零，则x 的值为（ ）A.1±B.1-C.8D.1-或85.（2002年江苏省数学竞赛题）已知a 为整数，关于x 的方程2200a x -=的根是质数，且满足27ax a ->，则a 等于（ ）A.2B.2或5C.2±D.2-6.（第17届五羊杯竞赛题）已知方程组2223xy x y =+，392yzy z=--，51537xyz xy yz zx =-+恰有一组解x a =，y b =，z c =，则222a b c ++等于（ ）A.10B.11C.5D.147.（希望杯竞赛题）当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解，则a等于（ ） A.2B.2-C.23-D.不存在8.（第18届五羊杯竞赛题）已知三个方程构成的方程组22121yzy z xyz yz zx xyxyzyz zx xy ⎧=⎪+⎪⎪=⎨-+⎪⎪=⎪++⎩，恰有一组解x a y b z c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则333a b c ++等于（ ）A.1-B.1C.0D.179.（上海市竞赛题）已知关于x 、y 的方程组23213243x y k x y k +=+⎧⎨-=+⎩的解x 、y 的值的和为6，则k =__________.10.（希望杯竞赛题）已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无穷多个解，则a =__________，b =___________.11.（1993年合肥市竞赛题）方程21421242x x x x +=++--的解是___________. 12.（江汉杯竞赛题）方程组(1)5a x y x yb -+=⎧⎨+=⎩，当a =____________，b =__________时方程组有唯一一组解；当a =___________，b =___________时，方程组无解；当a =_____________，b =__________时，方程组有无数组解.13.（济南市竞赛题）解方程组6220224ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩，时，本应有解810x y =⎧⎨=⎩，由于看错了系数C ，得到解为116x y =⎧⎨=⎩则a b c ++=___________.14.（第13届江苏省初中数学竞赛题）甲、乙两人在环形跑道上练习长跑，甲的速度与乙的速度的比为5：3.若两人同时从同一起点出发，则乙跑了___________圈后，甲比乙多跑了4圈. 15.（第8届希望杯竞赛题）若223111191x x x x x x ---++--的值是23，则x 的值等于___________. 16.（2002年上海市竞赛题）若实数a 满足32a a a <<，则不等式1x a ax +>-的解为___________. 17.（第17届五羊杯竞赛题）已知222211(1)1x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，则A B C ++=____________.18.（第18届五羊杯竞赛题）已知232573(2)2(2)x x A B x x x ++=+---3(2)Cx +-，其中A 、B 、C 为常数，则2A B C ++=_____________. 19.（第17届五羊杯竞赛题）方程11(1)(2)(2)(5)x x x x ++-+++1111(5)(8)(8)(11)3324x x x x x +=-++++-的解为____________.20.（第10届祖冲之杯竞赛题）方程2221113256x x x x x x +++++++21471221x x +=++的解是___________.21.（第7届五羊杯竞赛题）一条河的水流速度为5千米/小时，“五羊”旅游船从上游A 地匀速驶向下游相距60千米的B 地，再匀速逆流驶返A 地，则旅游船顺流行驶速度超过逆流行驶速度___________%时，可使得旅游船往返时间差为1小时以上. 22.（2007年浙江省竞赛题）设1232007,,,,x x x x 为实数，且满足1232007x x x x ⋅⋅=12320071232007x x x x x x x x -⋅=-=⋅123200620071x x x x x =⋅⋅-=，则2000x 的值是____________.23.（1997年重庆市竞赛题）若4360x y z --=，270x y z +-=，求522310x y zx y z+---的值.24.（南京市竞赛题）223133x x x x x--=++.25.（学习报公开赛竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]3π=，[]4π-=-，解方程：22[]3[][](123)x x x n x n ++++=++++.26.（2006年华罗庚杯香港中学竞赛题）已知x 无论取什么值，式子35ax bx ++必为同一值，求a bb+的值.27.（山东省竞赛题）如果a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk+-=+，无论k 为何值它的根总是1，求a 、b 的值.28.（第10届缙云杯竞赛题）若关于x 的方程26(51)3m x x x m +=+-至少有两个解，那么m 应满足什么样的条件？29.（第13届希望杯竞赛题）已知m 是整数，二元一次方程组235379x y mx y -=-⎧⎨--=⎩有整数解，求m .30.（苏州市竞赛题）解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+---.31.（1993年四川省竞赛题）已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数解. 求实数a 的取值范围.32.（北京市竞赛题）已知1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求y .33.（1996年荆州市竞赛题）已知关于x 与y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩分别求出当a 为何值时，方程组的解为： （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多组解.34.（1994年全国初中数学联赛题）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求N .35.（希望杯竞赛题）如右表，a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，表中各行、各列及两条对角线上的三个数之和相等.求ab cd efa b c d e f+++++++36.（1999年黄冈市初中数学竞赛题）若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值.37.（希望杯培训题）一小船由A 港到B 港顺流需6小时，由B 港到A 港逆流需8小时. 小船从早晨6时由A 港到B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.问：（1）若小船顺水由A 港漂流到B 港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？。