初中数学竞赛专题:线段与角 §8．1线段与角度 8．1．1★在线段AB上有P、Q两点,26AB,14AP,11PQ,求BQ的长． 解析有两种情况:点P相邻于点A,或点P相邻于点B． (1)当点P相邻于点A时,如图(a)所示,此时2614111BQABAPPQ．

ABPQAQPB图(a)图(b)

(2)当点P与点B相邻时,如图(b)所示,此时26141123BQABAPPQ． 8．1．2★如图,已知57ACCB,511ADCB,AB的长是66厘米,求CD之长． 解析由于CDACAD,AC、AD又与BC有关,所以,只要求出BC的长即可． ADCB 因为ABACCB,所以 51277ABCBCBCB．

因为66AB（厘米）,所以,772CB（厘米）, 55572ACCB（厘米）,535112ADCB（厘米）,因此

55351022CDACAD（厘米）．

8．1．3★如图,B、C、D依次是线段AE上的三点,已知8.9AE厘米,3BD厘米,则图中以A、 B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？

ABCDE 解析以A、B、C、D、E为端点的线段共十条,所以所有线段长度之和为 46ABACADAEBCBDBECDCEDEABBC 64464()64248.92341.6CDDEABDEBCCDAEBDBDAEBD（厘米）．

8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形． 问其中最长的一段的取值范围． 解析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边（如图）,而线段BC、CD、DE、EA则可看成是点A、B之间的一条折线,因此,

ABCD

E

ABBCCDDEEA． 设最长的一段AB的长度为x厘米,则其余4段的和为10x厘米．由线段基本性质知10xx,所以5x,又 105ABBCCDDEEAx≤, 所以2x≥．即最长的一段AB的长度必须小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一个角的余角与这个角的补角之比是27∶,求这个角的邻补角． 解析设这个角为,则这个角的余角为90,这个角的补角为180．依照题意,这两个角的比为9018027∶∶． 所以36026307,5270,所以54． 从而,这个角的邻补角为18054126． 8．1．6★如图,AOB是钝角,OC、OD、OE是三条射线,若OCOA,OD平分AOB,OE平分BOC．求DOE的度数．

A

BCDEO

解析设AOB,则 2AOD,902DOC．

因为90COB,所以452COE．因此,90454522DOEDOCCOE． 8．1．7★★★ABC△中,A是最小角,B是最大角,且25BA,若B的最大值是m,最小值 是n,求mn的值． 解析根据题意,得ACB≤≤． 因为180ABC,25BA,所以 21805BBC,

即71805BC． 71805CBB≤,

由此得121805B≥,75B≥． 又因为25ABC≤,所以 277180555BBCB≤,

即91805B≤,所以100B≤． 所以75100B≤≤,故 10075175mn． 8．1．8★在平面上,一个凸n边形的内角和小于1999,求n的最大值, 解析因为凸n边形的内角和为2180n,所以21801999n,212n,所以,14n． 又凸13边形的内角和为 13218019801999,

故n的最大值是13． 8．1．9★如图所示,求ABCDEFG．

AB

CDE

F

GMN

解析如图所示,可得360BBMNEG, 360FNMFAC, 而180RMNFNMD, 所以540ABCDEFG． 8．1．10★如图所示,90ABCDEFGn,则n____．

AB

CDEFRGx

yQ

解析设AF与DG相交于点Q,CE与DG相交于点R,记AQRx,CRGy,则 180ADx, 360BCGy, EFxy． 把此三式相加得 540ABCDEFG, 所以6n． 8．1．11★如图所示．平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形．求 ABCDEF的度数．

AB

CDE

FPQR

解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中,而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中,于是,我们反复利用内角和定理可得 180ABAPB, 180EFFRE, 180CDDQC, 而180PRQPQRQPR,所以 180APBFREDQC, 故360ABCDEF． 8．1．12★★如图,在ABC△中,M为AB的中点,D为AB上任一点．N、P分别为CD、BC的中点,Q为MN的中点,直线PQ与AB相交于E,则AEED．

A

BCDMNQ

P

E

解析连结PN,则22BDPNME∥∥．于是 111222AEAMEMABBDAD,

所以AEED, 8.1.13★★如图,求图中ABCDE的大小． 解析1如图(a),连结BE．在DOC△中,180DCDOC,在OBE△

中,180OBEOEBBOE,又DOCBOE,所以DCOBEOFB．因此 ABCDEABEDC

180AABOAEOOBEOEBAABEAEB．

DCAOEBDCA

PO

BE

12

图(a)图(b) 解析2如图(b),在DOC△中,由三角形外角的性质,得 1DC, 2AE 所以ABCDE BDCAE

12180B． 评注由解析2可以看出,三角形外角的性质虽很简单,却很有用,它能把许多分散的角集中到一个三 角形（或多边形）中来． 8．1．14★★如图,BE平分ABD,CF平分ACD,BE与CF相交于G,若140BDC,100BGC,求A的度数．

A

BCDEF

G

123456

解析连结BC．在BDC△中12180D, 所以1218018014040D． 在BGC△中,1324180BGC,所以 34180121804010040BGC．

又因为BE、CF分别为ABD、ACD的平分线,所以 563440． 在ABC△中 135246180A, 即(404040)180A． 所以60A． 8．1．15★★在ABC△中,ABAC,D、E、F分别在AB、BC、CA上,且DEEFFD．求证:

A

DFBEC 12DEBADFCFE．

解析如图,易知BC． 因为DEBCFE 60FEBCFE 60C, 又60ADFDEBADEDEB 60B, 于是DEBCFEADFDEB．

此即1()2DEBCFEADF+． 8．1．16★如图,DC平分ADB,CE平分AEB,若DAE,DBE,求DCE的度数（用、表示）．

ACDBE

解析如图,由ACD△与ACE△的内角和是360可得 1136036022ADBAEBDCE,

由ABD△与ABE△的内角和是360可得 360360ADBAEB,

所以12DCEADBAEB

1122

．

8.1.17★★★如图,求ACDFGIJLBEHK的大小,此处B

即ABC,余类推,

AC

BD

E

KHF

IG

LJ

解析连结BK、BE、EH、KH．由四边形内角和是360可知, 360ALLKBABK． 360CDCBEDEB,