初中数学竞赛专题：函数 初中数学竞赛专题：函数（1）6.1函数及其图像6.1.1 ★已知2(1)195544f x x x -=+-,求()f x ．解析1 令1y x =-,则1x y =+,带入原式有2()19(1)55(1)44f y y y =+++-2199330y y =++,所以 2()199330f x x x =++．解析2 2(1)19(1)93(1)30f x x x -=-+-+,所以2()199330f x x x =++6.1.2 ★★若函数2()1g x x =-,[]221()x f g x x -=,求3()4f ．解析 只要将满足3()4g x =的x 值求出来,然后代入[]()f g x 即可．23()14g x x =-=, 所以214x =,12x =±．因此2211()312()()3142()2f fg -±⎡⎤=±==⎢⎥⎣⎦± 6.1.3 ★ 已知函数53()5f x ax bx x =-++,其中a 、b 为常数．若()7f x =,求(5)f -． 解析 由题设53()5f x ax bx x -=-+-+ 53(5)10ax bx x =--+++()10f x =-+所以(5)(5)103f f -=-+=．6.1.4 ★★ 函数()f x 的定义域是全体实数,并且对任意实数x 、y ,有()()f x y f xy +=．若(19)99f =,求(2008)f ．解析 设(0)f k =,令0y =代入已知条件得()(0)(0)(0)f x f x f x f k +=⋅==, 即对任意实数x ,恒有()f x k =,所以()(19)99f x f ==,所以 (2008)99f =． 6.1.5 ★★ 若对任意实数x ,221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,求实数a 的取值范围． 解析 欲使221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,令22()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+则()0g x >或()0g x <,对任意实数x 均成立,于是问题等价于（1）22220,(2)4(2)0.a a a a a ⎧-->⎪⎨=----<⎪⎩△ （2）22220(2)4(2)0.a a a a a ⎧--<⎪⎨=----<⎪⎩△ （3）220,20.a a a ⎧--=⎨-=⎩由（1）解得：2a >,或2a <-； 由（2）解得：a 不存在； 由（3）解得：2a =．于是实数a 的取值范围为2a ≥,或2a <-．6.1.6 ★★ 若y =,求m 的取值范围．解析 由题意y =,即对任意实数x ,恒有2430mx x m -+-≥．若0m =,则43x -≥,34x ≤-,与题意不符；当0m ≠时,二次函数2()430f x mx x m =-+-≥的充要条件是20,(4)4(3)0.m m m >⎧⎨=---≤⎩△ 得4m ≥．因此,m 的取值范围是4m ≥． 6.1.7 ★★反比例函数1k y x-=与一次函数(1)(0,1)y k x k k =+≠≠在同一坐标系中的图像只能是（ ）．(A)(B)(C)(D)解析 通过分析函数图像的特征,例如(1)y k x =+的图像过一定点（1-,0）,或者通过函数图像讨论常数k 的正负逐步淘汰三个选择项,得出结论．函数(1)y k x =+的图像过顶点(1,0)-,而在（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）． 在（D ）中,直线左高右低,因此0k <；双曲线在Ⅰ,Ⅲ象限,则10k ->,1k >,导致矛盾．故淘汰（D ）． 在（C ）中,仿前,从直线看,01k <<；从双曲线看,1k >,也导致矛盾．故淘汰（C ）． 故选（B ）．6.1.8 ★★ 函数220062008y x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和等于_________． 解析 原问题可转化为求方程2200620080x x -+=①的所有实根之和．若实数0x 为方程①的根,则其相反数0x -也为方程①的根．所以,方程的所有实根之和为0,即函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于0．6.1.9 ★★ 直线1l 过点(0,2)A 、(2,0)B ,直线2l y mx b =+∶过点(1,0)C ,且把AOB △分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,如图．设此三角形的面积为S ,求S 关于m 的函数解析式,并画出图像.解析 因为2l 过点(1,0)C ,所以0m b +=,即b m =-．设2l 与y 轴交于点D ,则点D 的坐标为(0,)m -,且02m <-≤（这是因为点D 在线段OA 上,且不能与O 点重合）,即20m -≤<．12S OC OD =⋅⋅ 11122m m =⋅⋅-=-, 故S 的函数解析式为1(20)2S m m ---≤<．6.1.10 ★★ 已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12．从它的顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于12．设梯形的面积为S ,梯形中较短的底的长为x ,试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式．解析 设矩形ABCD 的长BC 大于宽AB 的2倍．由于周长为12,故长与宽满足46BC <<,02AB <<．由题意,有如下两种情形：E 2E 1DCBA（1）如图11tan 2BAE ∠=,这时1CE x =,1BE BC x =-,2()AB CD BC x ==-,所以2()6BC x BC -+=,623xBC +=,111()2AE CD S CE AD CD =+⋅16262()2()233x x x x ++=+⋅- =26565843393x x x x +-⋅=-++, 其中36x <<（这由62463x+<<得出）． （2）当21tan 2DAE ∠=时,由于22AE B DAE ∠=∠,故21tan 2AE B ∠=,这时2CE x =,22BE AB =．由(2)6AB x AB ++=,得 63xAB -=, 所以221()2AE CD S CE AD CD =+⋅166(2)233x xx x --=+⋅+⋅66()33x xx --=+⋅=222493x x -++, 其中06x <<（这由6023x-<<得出）． 6.1.11 ★★ 已知二次函数2()f x x px q =++,且方程()0f x =与(2)0f x =有相同的非零实根． （1）求2qp 的值； （2）若(1)28f =,解方程()0f x =．解析 （1）设()0f x =的两根为1x 、2x ,且12x x ≤,则12()()()f x x x x x =--, 12(2)(2)(2)f x x x x x =--124()()22x xx x =--． 于是,(2)0f x =的两根为12x 、22x ,且1222x x ≤．所以,212xx =,即212x x =．因此,12212212211()(1)(1)x x q x x p x x x x ==+++ 1219(1)(21)2==++ （2）由（1）得11()()(2)f x x x x x =--． 又(1)28f =,则11(1)(12)28x x --=, 解之得13x =-或92, 于是,()0f x =的两组解为123,6x x =-⎧⎨=-⎩或129,29.x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6.1.12 ★★ 如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t ,都有(2)(2)f t f t +=-,求(1)f ,(2)f ,(4)f 之间的大小关系．解析 (2)(2)f t f t +=-对任意实数t 成立,因此()y f x =的图像的对称轴是2x =．()y f x =的图像是开口向上的抛物线,因此当2x ≥时,y 随着x 的增大而增大．于是有 (2)(3)(4)f f f <<．但由对称性知(3)(1)f f =,故 (2)(1)(4)f f f <<．6.1.13 ★ 如图所示,1l 、2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用y （费用=灯的售价+电费,单位：元）与照明时间()x h 的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是2000h ,照明效果一样．（1）根据图像分别求出1l 、2l 的函数关系式； （2）当照明时间为多少时,两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明1500h ,他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？解析 （1）设直线1l 的解析式为112y k x =+．由图像得1175002k =+,解得10.03k =．所以,1l 的解析式为10.032(02000)y x x =+≤≤．设直线2l 的解析式为2220y k x =+．由图像得22650020k =+,解得20.012k =．所以,2l 的解析式为20.01220(02000)y x x =+≤≤．（2）当12y y =时,两种灯的费用相等,这时有0.0320.01220x x +=+,解得1000x =,所以,当照明时间为1000h 时,两种灯的费用相等． （3）当1000x >时,21y y <,所以他买节能灯省钱．6.1.14 ★★ 通过实验研究,专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣渐增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分赛．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图像如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当010x ≤≤时,图像是抛物线的一部分,当1020x ≤≤和2040x ≤≤时,图像是线段．（1）当010x ≤≤时,求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；:分)（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否讲过适当安排。

使学生在 听这道题时,注意力的指标数都不低于36．解析 （1）当010x ≤≤时,设抛物线的函数关系式为2y ax bx c =++,由于它的图像经过点(0,20)、(5,39)、(10,48),所以20,25539,1001048.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得,15a =-,245b =,20c =． 所以21242055y x x =-++,010x ≤≤．（2）当2040x ≤≤时,7765y x =-+ 所以,当010x ≤≤时,令36y =,得2124362055x x =-++,解得4x =,20x =（舍去）；当2040x ≤≤时,令36y =,得736765x =-+,解得20042877x ==． 因为44284242477-=>,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,讲授完这道竞赛题． 6.2 一次函数6.2.1 ★★ ()f x 四一次函数,（1）若[](1)47f f x x +=+,求函数()f x 的表达式； （2）若(1)1f =,且[]4(2)2bf f k-=⋅,求函数()f x 的表达式． 解析（1）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)(1)f x k x b kx k b +=++=++,又因为[](1)()f f x k kx k b b +=+++2247k x k kb b x =+++=+．所以224,7.k k kb b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得2,2,1,3,k k b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩所以()21f x x =+或()23f x x =--． （2）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)1f =,所以1k b += ①因为(2)2f k b =+,[]2(2)2f f k bk b =++,所以2422bk bk b k-++=⋅． ②由①得1b k =-,代入②得360k k --=326(2)(23)0k k k k k --=-++=．得2k =,则1b =-．所以()21f x x =-． 6.2.2 ★★ 求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点．解析 由一次函数得(2)(21)(10)k y k x k +=---, (21)2100x y k x y ----+=．因为等式对一切有意义的k 成立,所以得210,2100.x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得12,519.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219(,)55． 6.2.3 ★★ 已知m 、n 、c 为常数。