2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试
数学（文科）试题卷
考试时间：120分钟
学校:___________班级:___________姓名:___________学号:___________
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，，则 A.{1}
B.{1，2}
C.{0，1，2，3}
D.{-1，0，1，2，3}
A ={1,2,3}
B ={x |(x +1)(x −2)<0,x ∈Z }A ∪B =
2.复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
z =3−4i
1−i i 3.设 ，，，则 的大小顺序是
A.B.C.D.a =(34)−34b =(43)2c =log 232a ,b ,c b <a <c
c <a <b
b <
c <a
a <c <b
4.设 为实数，直线 ，， 则“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
a :ax +y −1=0l 1:x +(a −1)y −2a =0l 2a =12⊥l 1l 25.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是
A.B.C.D.8
99
1010
111112
6.一个几何体的三视图如图所示（位：），则该几何体的体积为______.A.B.C.D.m m
36+π
5+π
6+2π
5+2π
7.正三角形 中， 是线段 上的点，，，则 A.3
B.6
C.9
D.12
ABC D BC AB =3BD =2⋅=AB →AD
→
8.已知函数 的部分图象如下图所示，则函数 在 上的值域为A.B.C.D.f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,−<φ<)π2π2f (x )x ∈(−,)π4π4
[−,]
2‾√2‾√(−,)
2‾√2‾√[−1,]
2‾√(−1,]
2‾√9.在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为 ，其焦点到渐近
线的距离为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 两点.若 是 的中点，则直线 的斜率为
A.2
B.4
C.6
D.8xOy E :
−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 223‾√P (2,1)m E A ,B P AB m 10.元旦晚会一次猜奖游戏中， 四个盒子里摆放了 四件奖品（每个盒里
仅放一件）.甲同学说： 号盒里是 ， 号盒里是 ；乙同学说： 号盒里是 ， 号盒里是 ；丙同学说： 号盒里是 ， 号盒里是 ；丁同学说： 号盒里是 ， 号盒里是 .如果他们每人都猜对了一半，那么 号盒里是
A.B.C.D.1、2、3、4a 、b 、c 、d 1b 3c 2b 3d 4b 2c 4a 3c 4a
b
c
d
11.在锐角三角形 中，内角 的对边分别为.若 ，且
，则 的取值范围为D A.B.C.ABC A 、B 、C a 、b 、c a =2cos(−A )+sin(B −C )=2sin(π−2C )π2
c (,)23
23√3(,2)25√5(,2)23(，)
25√523√312.定义在 上且周期为 的函数 满足：当 时，，若在区间 上函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
A.B.R 4f (x )x ∈[−1,3)f (x )=
{(,−1≤x ≤012)x ln x +2,0<x <3[0,4]g (x )=f (x )−ax −1a [0,]∪(,1)14ln 3+13[0,]∪(,1)13ln 3+13
C.D.[0,]∪(,2)14ln 3+13
[0,]∪(,2)
13ln 3+13二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.在等比数列 中，已知 ，，则 _______.
{}a n =5a 1=40a 9a 10=a 1814.已知 是定义在 上的奇函数，若 时，，则曲线 在点
处的切线斜率为________.
f (x )R x >0f (x )=2ln x +x y =f (x )(−1,−1)15.设不等式组 所表示的平面区域为 ，函数 的图象与 轴所围成的区域为 ，向 内随机投一个点，则该点不落在 内的概率为________.
⎧⎩⎨⎪⎪x −y ≤22‾√x +y ≥−22‾√y ≤0
M y =−1−x 2‾‾‾‾‾‾√x N M N 16.已知一个圆锥的底面直径为 ，其母线与底面的夹角的余弦值为 .圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为
________.
2‾√13三、解答题：共 70 分。
解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22、23 为选考题。
考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.已知数列中，，，.
(1).求证：数列 是等比数列；
(2).求数列 的前 项 和 .
{}a n =1a 1=2+n −1a n +1a n =+n b n a n {}b n {}a n n S n 18.
对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 （单位：吨）的频率分布直方图，如图一.
(1).求 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量 ；
(2).已知该居民月用水量 与月平均气温 （单位：℃）的关系可用回归直线 模拟
2019 年当地月平均气温 统计图如图二，把 2019 年该居民月用水量高于和低于 的月份T a T 月⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯T t =0.4t +2T t T 月⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
作为两层，用分层抽样的方法选取 5 个月，再从这 5 个月中随机抽取 2 个月，求这 2 个月中该居民恰有 1 个月用水量超过 的概率.
T 月⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯19.已知四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，
，.点 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ， 平面 .(1).求实数的值；
(2).求四棱锥 的体积.
S −ABCD ABCD 2∠BAD =60∘SA =SD =5‾√SB =7‾√E AD F SC =λSF SC
SA //BEF λF −EBCD 20.已知椭圆 过圆 的圆心 ，且右焦点
与抛物 的焦点重合.
(1).求椭圆 的方程；
(2).过点 作直线 交椭圆 于 两点，若 ，求直线 的方程.C :+=1(a >b >0)x 2
a 2y 2
b 2Q :+−4x −2y +3=0x 2y 2Q =4x y 23‾√C P (0,1)l C A ,B =tan ∠AQB S △AQB l 21.已知函数 ， 是 的导函数.
(1).讨论函数 的极值点个数；
(2).若 ，，若存在 ，使得 ，试比较 与 的大
小.
f (x )=x −m ln x ,m ∈R (x )f ′f (x )f (x )m >00<<x 1x 2x 0()=
f ′x 0f ()−f ()x 1x 2−x 1x 2+x 1x 22x 0（二）选考题：共 10 分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为：.
(1).求曲线 的普通方程和曲线 的参数方程；
(2).若点 在曲 上运动，求点 到曲线 距离的最小值及对应的点 的坐标.xOy C 1⎧⎩⎨⎪⎪x =1−t 2√2y =2+t
2√2t O x C 2(3−cos 2θ)=4ρ2C 1C 2M C 2M C 1M 23.[选修 4-5：不等式选讲]
（原创）已知函数 .
(1).当 时，证明：；
(2).若 的值域为，且 ，解不等式.
f (x )=|x −a |+|x +b |(a >0,b >0)ab =1f (x )≥2f (x )(2,+∞)f (3)=5f (x )≥4。