r1 ) 2n
n 0,1,2,3,.....
A Amax A1 A2
干涉减弱 的条件：
( 20
10
)
2
(r2 r1 ) (2n 1)
n 0,1,2,3,.....
A Amin | A1 A2 |
当两波源的初相位相同时，相干条件可写为：为波程差
干涉加强 r2 r1 n n 0,1,2,3,...
t
u
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值。
2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流。
P u S
3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为能流密度或波的强度。
I P u 1 A2 2u
S
2
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的
平均能量。
I
1
A2
注意： 波的叠加原理仅限于线性波动现象， 例如对强冲击波则不成立。
三、弦上横波的反射与透射
定义媒质特征阻抗: Z u 媒质密度，u 波速
1、振幅
振幅反射系数
B Z1 Z2 A Z1 Z2
A 入射波振幅
振幅透射系数
C 2Z1 A Z1 Z2
B 反射波振幅 C 透射波振幅
2、能量＝1 2 A2 , I 1 2 A2u 1 2 A2 Z
3、驻波的特征： y y1 y2 2 Acos kx cost
①波节和波腹： 有些点不动(波节),有些点振动最强(波腹)
波节：振幅为零的点称为波节。
| 2 Acos 2 x | 0 即: 2 x (2n 1) 的各点。
2
波节的位置为： x (2n 1)
4
n 0, 1, 2y...
O
•
•P
S1
x
•
x
S2
解:选S1 处为坐标原点O, 向右为x 轴正方向,设点S1 的振动 初相位为零,由已知条件可得波源S1 和S2 作简谐振动的 运动方程分别为:
y1 Acos(2t ) y2 Acos(2t )
S1 发出的向右传播的波的波函数为:
y1
A cos [2
(t
x )]
S2 发出的向左传播的波的波函数为:
x) u
0
]d t
1 A22
2
A2,2
特点:
A2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
x, t
A、Ek Ep 相位,大小均相同；机械能不守恒。
( 注意与振动能量相区别 )
y
•c
y
•c
O
•B
x
• A 波形图
O•
•B
t
• A 振动图形
平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。 振幅处（y = A） E k 、 E p 为 0。 B、若x 一定, E k 、 E p、E 均随 t 周期性变化。
10 )
2
(r2
r1 )
由于波的强度正比于振幅平方：I 1 A2 2u
2
I I1 I2 2 I1I2 cos
对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
A A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉加强 的条件：
(20
10 )
2
(r2
则柱面简谐波的波函数： y A cos (t r )
r
u
§6-6 波的反射和透射
一、惠更斯原理： 1、表述： 1）媒质中任一波面上的各点，都是发射子波的新波源。 2）其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。 波的传播：球面S上任一点都可以看成发射子波的波源。 经Δt时间子波行进到包络面S2。
波函数的几种不同的形式：
y( x, t )
A cos[ (t
x u
)
0
]
1 , 2
T
u
T
y( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
y( x, t )
A cos[2 (t
x) u
0
]
y( x, t )
Acos[ 2
(ut
x)
0 ]
三.平面波的波动方程 Wave Equation of Plane Wave
AB
x 体密度
1) 微元的动能:
v
y t
A
s in[ ( t
x u
)
0
]
Ek
1 m v2 2
1 VA2 2 sin2[(t
2
x u
)
0
]
2)微元的势能 :
微 元 应 变 ：y x
A u
பைடு நூலகம்
s in[ (t
x u
)
0
]
E p
1
GSx
y
2
2
x
1 2
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
利用u G G u2 各微元的势能和动能相等，而且势能
2、产生干涉的条件：
两波源具有相同的频率。
两波源具有恒定的相位差。 满足上述条件的称为相干波。 两波源的振动方向相同
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。
3、干涉加强、减弱条件：
s1
r1
p
设有两个频率相同的波源 S1和 。S2
s2
r2
S1 、S2 的振动表达式为：
y10 (s1 , t ) A10 cos(t 10 )
s1
r1
p
y20 (s2 , t ) A20 cos(t 20 )
s2
r2
传播到 P 点引起的振动为：
y1( p, t)
A1
cos [ ( t
r1 u
) 10 ]
y1 (
p, t)
A1
cos(t
10
2
r1 )
y2 (
p, t)
A2
cos [ ( t
r2 u
) 20 ]
y2 (
p, t)
A2
1、平面波 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在传播方向上振幅不变。
证明：因为
在一个周期
T内通过
S1和
S
面的能量应该相等
2
I1S1T I2 S2T ,
S1 S2 S I1 I2 S1
1 2
2 A12u
1 2
2 A22u
所以,平面波振幅不变： A1 A2
u
S2
2、球面波 同理 I1S1T I2 S2T ,
G- 切变模量
F切
∵G < Y, 固体中 ｕ横波<ｕ纵波
切变
(4) 流体中的声波 u k
0
k-体积模量, 0-无声波时的流体密度
(5) 水面波 u gh0 h0-水的平均深度
§ 6-5、波的能量和能流 Y
y
一、波的能量：
以横波为例,其波函数为:
X
y
A cos [ ( t
x u
)
0
]
O
任取一体积元△V，其质量△m = ρ △V，
2
u
单位: W / m 2
2
注意： 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
4) 波的吸收： 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收
的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、 波的强度将减弱，这种现象称为波的吸收。
I I0e 2x
α为吸收系数,取决于媒质和波的频率
三、平面波、球面波、柱面波的振幅 若不考虑能量吸收即能量守恒，可讨论波传播时振幅的变化：
单极子声源波场不同时刻切片图
t＝1E-5（s）
t＝2E-4（s）
偶极子声源波场不同时刻切片图
t＝1E-5（s） t＝4E-4（s）
t＝2E-4（s） t＝6E-4（s）
四极子声源的波场图
四个同相点源叠加后的波场图
t＝1E-5（s）时刻的波场图
二、驻波：（驻波是干涉的特例） 1、驻波:两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成
1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
S1 4r12 ; S2 4r22
r2
r1
A1r1 A2r2
所以球面波的振幅与离波源的距离成反比。
如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 A r
由于振动的相位沿波速方向随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
的变化和动能的变化“步调一致”。
3)总机械能:
E
Ek
E p
VA2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
4)能量密度:( 单位体积中的能量 )
E
V
A2
2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
5)平均能量密度( 在一个周期内的能量密度的平均值)
1
T
T
dt
0
1 T
T 0
A2
2
s in2 [ ( t
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
干涉减弱