量子力学复习要求2008. 4. 24一. 基本概念:●波粒二象性, 德布罗意关系●波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化●几率与几率流密度与波函数的关系●几率与几率密度的区别;●算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的构成.●本征值方程, 本征值, 本征函数●氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数●态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义●算符的对易关系与测不准关系●表象的概念●定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修正的基本思路●含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路●自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵●在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数●全同性原理的含义与表述●玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述二.计算题与证明题● 一维薛定谔方程的求解; ● 简单的本征值方程求解; ● 几率与几率密度的计算; ● 力学量在某个态平均值的计算;● 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等)● 证明或检验算符的对易关系及测不准关系; ● 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正; ● 自旋算符的本征值问题.量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求1. 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3);2. 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用:2.3一粒子在一维势场(),0,0,0,x U x x a x a⎧∞<⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩中运动, 求粒子的能级和对应的波函数.结果: 粒子的能级为 22222n n E a πμ=,归一化的波函数为n n x aπψ=. 3. 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7);4.有关本征值,本征函数,本征值方程的概念与证明(见教材有关内容);5.波函数的统计解释, 几率密度,几率,几率流与波函数的联系(3.3, 3.4题);6.波函数按照本征函数展开,所得到展开系数的物理意义(3.9题);7.氢原子4个量子数的取值范围,各个量子数的取值与对应的算符的本征值的关系,简并态的概念(3.5, 3.9题);8.氢原子电子的基态波函数, 电子几率分布的最可几半径的计算(3.2题);9.力学量平均值的计算,对平均值公式中各个量的理解(3.1,3.2, 3.6, 3.7);10.算符的对易与测不准关系; 用测不准关系估计氢原子的基态能量(3.13题);11.非简并定态微扰论计算能量的一级修正和二级修正(理解计算公式中各个量的意义).(5.2, 5.3题)12.对电子自旋角动量取值的理解;在自旋态中计算力学量的平均值,计算力学量的均方偏差(7.2题);13.泡利矩阵与自旋角动量算符矩阵的联系, 利用自旋角动量算符的本征值方程(矩阵形式)确定自旋函数,及自旋角动量的本征值(教材有关内容及7.3题)考试题型:考试由概念题(25%)和计算题与证明题(75%)两个部分组成. 需要记住29个公式 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)hp n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)4.戴维孙和革末的电子衍射实验(说明电子具有波动性的实验).作业: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂ (4)定态薛定谔方程()()ˆHr E r ψ=ψ (5) 其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4.几率流密度和几率守恒定律与薛定谔方程的联系; 几率流密度()2i J μ**≡ψ∇ψ-ψ∇ψ (7) 几率守恒定律0wJ t ∂+∇⋅=∂ (8)其中2w *=ψψ=ψ代表几率密度.5. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.6. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)注意积分区域,注意不同坐标系中积分体积元和积分上下限. 7.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 线性谐振子(不要求). 注意在势能分布具有对称性的情况下应用对称性简化定解过程.波函数的标准条件是: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.● 波函数的连续性总是对的;● 而波函数的一阶导数的连续性在个别情况下不成立(例如一维无限深势阱的情况).作业: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 第三章 量子力学中的力学量1. 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()n nc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程, 本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+, ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符,及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数,角量子数和磁量子数的取值范围.简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. ()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰ (18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(i) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则它们有共同的本征函数nlm ψ,在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E nμ=-,()21l l +和m .(ii) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆˆˆˆˆFGGF ik -= 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量,(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)作业: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12 第四章 态和力学量的表象(定性要求与概念理解) 表象的概念,1． 坐标表象的波函数与动量表象的波函数及其物理意义；()2,x t dx ψ和 ()2,c p t dp2．对表象的理解:(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间);(3) 本征函数()()()12,,...,...n u x u x u x : 坐标系的基矢量 (4) ()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各 基矢量的分量: ()()(),n n nx t a t u x ψ=∑3. 算符的矩阵表示和薛定谔方程的矩阵表示 第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 1. 确定微扰的哈密顿算符:ˆH =()0ˆˆH H '+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()0n E 和零级近似波函数()0n ψ;(1) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (21)(2) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑, (22)其中,()()00ˆmnm n H H d ψψτ*''=⎰. (23)(3) 计算能量的二级修正:()22'00nlnlnlH E E E '=-∑. (24) 简并情况下的微扰理论不作要求.含时微扰理论要求理解跃迁几率的计算思路以及教材(5.7-12)式中各项的物理意义. 作业: 5.2, 5.3第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取2z S =±(25)2. 电子的自旋磁矩s M ,它和自旋角动量S 的关系为s eM S μ=-(SI)(26)s M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值:2sz B eM M μ=±=± (SI)(27)其中B M 为玻尔磁子. 3. 自旋算符的矩阵形式01ˆ210xS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (28) 泡利矩阵1ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(29) 4. 自旋算符的对易关系及测不准关系5. 全同性原理: 在全同粒子组成的体系中,两个全同粒子相互代换不会引起体系物理状态的改变.6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类:(I) 费米子: 波函数是反对称的; (II) 玻色子: 波函数是对称的.7. 泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.作业: 7.1, 7.2, 7.3部分作业题及参考答案 第一章 1. 2, 答:7.07A 1. 3, 答:12.6A1. 4, 答:n E n ω=, n r =,动能的量子化间隔 239102k e B E μ-∆=≈⨯焦耳,14T K =和2100T K =的热运动能量分别为231138.38102E kT -=≈⨯焦耳,21223 2.07102E kT -=≈⨯焦耳, 因此12k E E E <∆<.1.5. 答:12max2.4310e h cλμ-=≈⨯米 第二章 2.1,2.3, 答: 22222n n E a πμ=,n n x a πψ=2.4,2.5, 答:x =2.7, 答: 2tg E μ= ⎪⎝⎭第三章3.1, 答: 势能平均值 14U ω=,动能平均值 14T ω=, 动量的几率分布函数 2222p p c eααπ-=.3.2, 答:半径平均值032r a =, 势能平均值 20e U a =-,最可几半径 0r a =,动能平均值, 2202T a μ=, 动量的几率分布函数, ()3524222208p a c a pπ=+3.4, 答:圆周电流的磁矩为22sin e dM r J rdrd φπθθ=,其中 2sin e nlm e m J r φψμθ=,氢原子的磁矩为 2meM μ=-3.5, 答: (1) ()22,0,1,2,...2mm E m I ==±±, im e φψ=, (2) ()()21,0,1,2,...2l l l E l I+==, (),lm Y ψθφ=.3.6, 答:平均动量 0p =, 平均动能 2258k T μ=.3.7, 答:动量的几率分布函数, ()332222221p c pλπλ=+,平均动量, 0p =. 3.8, 答:能量的几率分布()226666960,1,3,5,...240110,2,4,6,...n nn c n n n ππ⎧=⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦⎪=⎩能量平均值, 255E a μ=. 3.12, 答: 动量平均值 0p p =, ()_______2x ∆⋅()_______224p ∆=.3.13, 答:4213.62e E ev μ-=-第五章5.2, 答:()100E =,()2220213I E D ε=-.5.3, 答:()11E b =, ()2210102a EE E =-,21010102a E Eb E E =++-;()12E b =, ()2220201a E E E =-,22020201a E Eb E E =++-第七章 7.1, 7.2, 答:()_______2xS∆⋅()_______4216y S ∆=.7.3 答:ˆx S 的本征值为2±,对应的本征函数分别为111χ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 111χ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ˆyS 的本征值为2±,对应的本征函数分别为11i χ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 11i χ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。