0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。

填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。

计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。

证明题(2道题，平均每题10分）。

考试时间：90分钟。

二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性(一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。

2.考试要求（１)理解集合的概念。

掌握集合运算的规则。

（2）理解函数的概念。

掌握函数的表示法,会求函数的定义域。

(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。

(４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。

(5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。

(二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。

2.考试要求(1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。

会求函数的极限(含左极限、右极限)。

了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。

掌握极限的四则运算法则。

(４）理解无穷小和无穷大的概念。

掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。

了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。

（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。

2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。

会求函数的间断点。

（2)掌握连续函数的四则运算法则。

(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。

(4)了解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理）。

第二章、一元函数微分学（一)导数与微分１．考试内容导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义,函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式,复合函数的求导法,隐函数的求导法，高阶导数。

2．考试要求(1)理解导数的概念及其几何意义。

了解左导数与右导数的概念。

(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。

(3）会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。

(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

(5)会求隐函数的一阶导数。

(６)了解高阶导数的概念。

会求函数的二阶导数。

(7）了解微分的概念。

会求函数的微分。

(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理),洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值,函数图形的凹凸性与拐点。

2.考试要求(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。

(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。

（4）理解函数极值的概念。

掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。

(5)会判断平面曲线的凹凸性。

会求平面曲线的拐点。

第三章、一元函数积分学(一)不定积分1.考试内容原函数与不定积分的概念,不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。

２.考试要求(1)理解原函数与不定积分的概念。

掌握不定积分的基本性质。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(二)定积分1.考试内容定积分的概念与基本性质,定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法,定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。

2．考试要求(1）理解定积分的概念。

了解定积分的几何意义。

掌握定积分的基本性质。

(２）理解变上限积分作为其上限的函数的含义,会求这类函数的导数。

（3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(4）熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

(５)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。

(三)广义积分 1．考试内容广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算,广义积分的应用。

2．考试要求(1）理解广义积分的概念。

(２)了解广义积分的实际背景和意义。

(3）掌握广义积分的基本性质。

(４)熟练掌握广义积分的计算。

三、练习题一、单选题 １.函数1ln x y x-=( ) Ａ、()0,1ﻩB 、()()0,11,4ﻩC 、()0,4ﻩD 、()(]0,11,42. 当1x →时，下列变量中不是无穷小量的是( ） ﻩﻩA 、21x -Ｂ、()21x x -+ﻩC 、2321x x --ﻩD 、2421x x -+ﻩ3. ()2f x x =-在2x =的导数为( ） ﻩ A 、 1ﻩB 、0C 、1-ﻩD 、不存在4． 极限2lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭=( ） ﻩ A 、12e ﻩＢ、2ﻩC 、2eD 、15． 设函数()f x 在2x =可导，且()'22f =，则()()22lim 2h f h f h→+-＝( ）ﻩﻩA 、12ﻩB 、1ﻩC 、2D 、4６. 设()1,010,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则()f x 在0x =处( ）A 、左导数不存在ﻩＢ、右导数不存在 C 、()'00f =D 、不可导７. 设()()1'ln 0f x x x=>，则()f x =( ） Ａ、ln x C +B 、x eC + C 、x e C --+ﻩD 、x e C -+ﻩ8. 下列关系正确的是( ）ﻩA 、()()d f x dx f x =⎰ﻩﻩB 、()()'f x dx f x =⎰ ﻩC 、()()df x dx f x dx=⎰ ﻩＤ、()()df x dx f x C dx=+⎰9.20π⎰＝( )ﻩＡ、 0ﻩＢ、32-ﻩC 、32ﻩD 、 31０． 下列广义积分发散的是( ） A、1+∞⎰B 、120dx x ⎰ﻩＣ、1⎰ﻩD 、0xe dx +∞-⎰ 二、填空题 1.1102__________.xdx -=⎰2．1_____________.-=⎰ﻩ3.3lim_____________.xx x dt→=⎰⎰ﻩ４． 设()()112,0,0kx x x f x e x ⎧⎪->=⎨⎪⎩≤在0x =连续，则__________.k =ﻩ5. 函数()12f x x x=+-在[]1,2上满足拉格朗日中值定理的_______________.ξ=ﻩ6. 3272y x x =-+在[]1,2上的最大值为＿___＿＿_______.7.__________.=ﻩ8. 设()f x 在0x 点有：()()00'0,''0f x f x =<，则()0f x 是()f x 的_＿______＿__值. 9. 设()y y x =是由方程arctanyx='________________.y = 10. ()203sin lim_________________.xx t dt x →=⎰三、计算题１. 设201sin 2sinlim1x k x x x x →-=,求k . ２．求lim .n →∞⎛⎫… 3. 设函数sin x y x =,求'.y ４． 求函数()2011xtf x dt t -=+⎰的极值,并说明是极大值还是极小值． 5． 设()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x+⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩ 在0x =处连续,求.a b ，6、求由曲线1xy =及直线,2y x y ==所围图形面积.7、计算22.ππ-⎰８、设()2sin y f x =,求.dy 四、证明题1. 证明：当1x >时，1.xee x>２、证明：当0x >时,证明()2ln 1.2x x x x -<+<3、证明：()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰四、习题解答提示一、单选题 DDDC Ｂ DCCAB 二、填空题 1.1ln 22． ６ﻩﻩ3. 134. 2-5. 6. 24-7.(2ln 1C ⎤+⎦8． 极大 9． 'x yy x y+=- 1０. 13三、计算题 1． 1.2k = 2． 1.3. 提示：ln sin ln y x x =,'sin cos ln y x x x y x ∴+，sin sin 'cos ln .x x y x x x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ４. 提示：()()()()()222212111'01,''0,''10,1ln 224211x x x f x x f x f f x x π---==⇒===∴=-<∴=-++ 极大值．5、提示：因为()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x +⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩在0x =处连续．根据连续定义解题：ﻩ()()()000ln 100lim limlimsin 222x x x ax ax af f x xx +→→→++====，利用连续性，1 2.2a a =⇒=()()000100lim lim lim 1bx bxx x x e be f f x b x-→→→--====,利用连续性 1.b =6、提示：2113ln 2.2S y dy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰ 7、提示：()1222242cos cos .3x dx x d x πππ-==-=⎰⎰8、提示:利用微分定义得()22'sin cos 2.dy f x x xdx =⋅四、证明题1.提示:ﻩ令()1xe x e x ϕ=-，则()1122221'0xe e ex e x x x ϕ-⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭,()1x >,()x ϕ∴当1x >时严格单增，但()10ϕ=，所以当1x >时()0x ϕ>,亦即1.xee x >２、提示：令()()()22ln 1,'21x x f x x x f x x=+-+=+（当0x >时),所以()f x 在0x >时严格单调增,但()00f =，所以()0f x >在0x >时,即()2ln 1.2x x x +>-同理可证()ln 1.x x +<3、提示：选取恰当的变量代换:只要做变量代换x t π=-便可计算出()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰说明：本考试指导只适用于201503学期期末考试使用，包括正考和重修内容。