《物质结构》第一章习题(下)(注：习题中，分别用L 2和L z 表示轨道角动量的平方和z 分量，课本上所采用的符号是M 2和M z )1. 证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是z L ˆ的本征函数，并求相应的本征值.2. 球谐函数),(φθlm Y 是_____和_____的共同本征函数，相应的本征值分别是___和____。

3. 球谐函数)(),(),(φφθφθm lm lm Y ΦΘ=，其中),(φθlm Θ是______，=Φ)(φm _____。

4. 设一粒子的状态为θcos 211⎪⎭⎫⎝⎛3=πψ，证明：该状态下，轨道角动量的平方L 2有确定值，并求出角动量的大小。

已知：在球极坐标系中，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆφθθθθθL . 5. 设一粒子的状态为φψi 21e sin cos 21-⎪⎭⎫⎝⎛2π15=θθ，证明：该状态下，轨道角动量的z 分量有确定值。

6. 设一个粒子的状态是0,21,22Y Y +=ψ，其中Y 为球谐函数。

问L 2和L z 有无确定值，若有，其值是多少，若无，则求平均值。

7. 类氢原子的定态波函数()φψ,r,θnlm 是____、_____、_____的共同本征函数，本征值分别是____、____、____。

8. 类氢原子的定态波函数()φψ,r,θnlm 可以写作()()()φΦΘ,,θr R 三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数_____, _____, _____来规定。

9. 写出单电子原子的ΦΘ,,,R ψ函数归一化时的积分变量及积分区间。

【答案1-9】1. 在笛卡尔坐标系中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=x y y x i L z ˆ())()()(ˆiy x y ix i iy x x y y x i iy x L z +=--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=+ ())()()(ˆiy x y ix i iy x x y y x i iy x L z --=+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=- z z x y y x i z L z ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=00ˆ故本征值分别为0,, -2. 轨道角动量平方算符2ˆL ，轨道角动量z 分量算符zL ˆ；2)1( +l l ， m3. 归一化的联属勒让德函数；φπφim e 21)(=Φ4. 只需证明ψψ⋅=常数2ˆL ，其中常数(本征值)即为该状态下L 2的值。

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∂∂-=0sin sin 122θθN θ()ψ222cos 2 ==θN故L 2有确定值22 ，得 2=L5. 在球极坐标系中，φ∂∂-= i L zˆ，于是 ()()ψθθθθφψφφ -=-=∂∂-=--i i ze N e N i L sin cos sin cos ˆ 故L z 有确定值 -。

6. 利用态叠加原理求解。

①Y 2,1和Y 2,0都是2ˆL的本征函数，并且本征值都是()226122 ＝+，因此，线性组合0,21,22Y Y +仍是2ˆL的对应于同一本征值的本征函数 (线性算符的性质)。

故L 2有确定值26 。

② Y 2,1和Y 2,0都是zL ˆ的本征函数，但本征值不同，分别是0 ， ，故线性组合0,21,22Y Y +不是zLˆ的本征函数。

可以验证如下： 2 02)2(ˆˆ1,20,21,20,21,2ψψ⋅≠=+⋅=+=常数Y Y Y Y Y L L z z 因此，在ψ状态下L z 没有确定值， 0 ， 都有一定的出现几率。

在0,21,22Y Y +=ψ中，球谐函数Y lm 是归一化的，但线性组合系数的绝对值平方和=22+12≠1，说明ψ不是归一化的。

设ψ的归一化系数为N ，则()0,21,22Y Y N N +=ψ ⇒ 1222=+NN ⇒ 5/12=N于是，L z 的平均值 540222=⋅+⋅=N N L z 7. 哈密顿算符Hˆ、轨道角动量平方算符2ˆL 、轨道角动量z 分量算符zLˆ；22/n RZ -、2)1( +l l 、 m . 8. n,l ； l ,m ； m9. ,θr θr τφψd d d sin d :2= [)[][];20:0:0:ππ∞,,,,θ,r φ r r R d :2, [)∞,0θθd sin :Θ,[]π,0 φd :Φ,[].20π,10. 已知Φ⨯Θ⨯=⨯=R Y R ψ，其中ΦΘ,,,,Y R ψ皆为归一化的波函数，请写出ΦΘ,,,,Y R ψ的归一化表达式。

11. 已知Φ⨯Θ⨯=⨯=R Y R ψ，其中ΦΘ,,,Y R 皆已归一化， 则下列式中哪些成立？ ( )(A)⎰∞=021dr ψ (B)⎰∞=021dr R (C)⎰⎰=πφ0π2021d d θY(C)⎰⎰=πφ0π2021sin θdθd Y (D)⎰⎰=πφ0π2021sin θdθd Y(E)⎰=Θπ21sin θdθ (F)⎰=Φ2π21d θ12. 以下关于Φ方程的叙述何者有错 ( ) (A) 方程的解为()φm A m i exp =Φ(B) 根据归一化条件1d ||202=Φ⎰πφm ，可得π2/1=A(C) 由于m Φ必须单值(边界条件)，故l m ±±±=,,2,1,0(D)mΦ是算符z Lˆ的本征函数，故 m L z= (E) 由Φ方程的一对复函数解，线性组合可得实函数13. 解Φ方程时，由于波函数φm e i 要满足连续条件，所以量子数m 只能为整数，对吗？14. 求解氢原子的Schr ödinger 方程能自然得到 n ,l ,m ,m s 四个量子数，对吗？15. 写出 Li 2+ 的薛定谔方程；比较Li 2+的2s 和2p 态能量的高低。

16. H 原子的0e 12/30s1a Zra Z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=πψ，列式计算①1/r 的平均值，② r 的平均值。

积分公式：)0,1(,!d e 1>->=+∞-⎰b n bn x x n bx n17. 对于H 原子，2s 和2p 电子，平均来说，哪一个离核近些？20230221221)(a r s ea r a r R -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 02023021621)(a r p ea r a r R -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=积分公式：)0,1(,!d e 10>->=+∞-⎰b n b n x x n bx n18. 三价铍离子( Be 3+ )的1s 轨道能应为多少 -R ？ ( )(A) 13.6 (B) 1 (C) 16 (D) 4 (E) 0.519. 若氢原子基态到某激发态跃迁光谱波长为1.217×10-5cm ，求该激发态的量子数n 。

(J 1018.2eV 6.1318-⨯=-=R )20. Li 2+的一个电子所处的轨道的能量等于氢原子1s 轨道能量，求该轨道可能是Li 2+的哪个轨道？该轨道是Li 2+的主量子数为3的轨道，可能是3s , 3p 0,±1或3d 0,±1, ±2 21. H 原子(气态)的电离能为___eV ， He +(气态)的电离能为___ eV 。

【答案10-21】 10.1d d d sin 220020=⎰⎰⎰∞ππφψθr θr ；1d d 2222==⎰⎰∞∞r R r r R ；1d d sin 200=⎰⎰π2πφθθY1d s i n d s i n 0202=Θ=Θ⎰⎰ππθθθθ；1d 220=Φ⎰πφ；或者，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞⋅=0002022202022sin sin ππππφθθφθθψd drd Y dr r R d drd r⎰⎰⎰Φ⋅Θ⋅=∞ππφθθ202222sin d drd dr r R 1111=⨯⨯=注意，Θ,R 是实函数，其绝对值平方就等于函数的平方，但Φ以及Φ⨯Θ=Y 和ψ有可能是复函数(除非明确是实函数，否则不可去掉绝对值符号)。

11. (D)(E)。

12. (C)。

根据Φ函数的单值性可确定 ,2,1,0±±=m ，但m 的最大值l 是通过解Θ方程确定的。

13. 不对。

φm e i 是连续函数，但不一定单值。

若要求函数单值，则m 只能为整数.14. 不对，只能得到n ,l ,m ，自旋是非相对论量子力学的基本假设。

15. ψψE r εe m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-∇-0222432 ；2s 和2p 态能量相同 16. ①⎰⎰⎰∞=00202*1*1sin 11ππφθθψψd d r rr s s 0202301sin 1a d d dr re a r a =⋅⋅=⎰⎰⎰∞-ππφθθπ ②000202*1*123sin a d d r r r s s ==⎰⎰⎰∞ππφθθψψ 17. ⎰⎰⎰⎰∞==00202**sin ππφθθψψτψψd drd r r d r⎰⎰⎰∞⋅=0020232sin ππφθθd drd Y dr r R ⎰∞=032dr r R对于2s 电子，003203s26d 2810a r r e a r a ra r=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞- 对于2p 电子，003203p25d 2410a r r e a r a ra r=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰∞-因此，2p 电子离核的平均距离较近。

18. (C)19. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=∆1121n R E E E n ，λhc E =∆ ⇒ 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-λR hc n20. R E -=H ⇒ R RE -=-=+22Li 32 ⇒ n =322. 求氢原子基态的动能和势能平均值。

并根据玻尔原子模型求电子的线速度和de Bröglie 波长.23a. 有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道，第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。

①原子势能较低的是______，②原子的电离能较高的是____。

23b. 对于单电子原子，在无外磁场时，能量相同的轨道数 ( )(A) n 2 (B) 2(l +1) (C) 2l +1 (D) n -1 (E) n -l -1 24 求氢原子分别属于能级①-R ，②-R /9，③-R /25 的简并度。

25. 分别写出氢原子4d 轨道和4f 轨道的角动量的大小。

26. 氢原子中的电子处在 3d 轨道之一，它的轨道量子数 n ,l ,m 的可能值各是多少？27. 测定处于3d 态的氢原子的轨道角动量的z 分量，可能得到几个测定值？( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 28. 氢原子3d 轨道角动量沿磁场方向分量的最大值和最小值分别为___和___。