9.043 10 11 m
h (c ) p
h 2meV 6.626 10 34 J s
2 9.109 10 31 k g 1.602 10 19 C 300V
7.08 10 11 m
1.10 请指出下列算符中的线性算符 和线性自轭算符
d d x, , , log, sin, 2 dx dx
exp[ ix]{(i
d ) exp[ ix]}* dx dx
1.12 下列函数中，哪几个是算符 的本征函数？若是，求出本征值
e x , sin x,2 cos x, x 3 , sin x cos x
d2 dx 2
d2 x d2 解： 2 e 1 e x , e x是 2 的本征函数，本征值为 1 dx dx
6 2 h 2 52 h 2 11h 2 E E6 E5 2 2 8ml 8ml 8ml 2 hc
8mcl 2 11h 8 9.1095 10 31 k g 2.9979 10 8 m s 1 (1.3 10 9 ) 2 11 6.626 10 34 J s 506 .6nm
ix
exp[ ix]{(i
d ) exp[ ix]}* dx dx
d ) exp[ ix]}dx dx
d ix e (i )e dx dx
exp[ix]{( i
e ix i eix idx
eix [( i
d ix )e ]dx dx
x
4 x 2 x 2x 2 x ( x) sin cos sin (1 cos ) a a a a a a 2 x 1 3x 1 x (sin sin sin ) a 2 a 2 a a
1 2 x 1 sin a 2 a 2 1 1 1 3 2 2
h E (2n 1) 2 8ml
hc
2
(2n 1)h l 8mc
1 2
(2 4 1) 6.626 10 34 J s 460 10 9 m 31 8 1 8 9.109 10 k g 2.998 10 m s 1120 pm
eix {
d ix [e (i)]}dx dx
e
ix
i (e i )dx
ix
eix (i ) e ix (i )dx
e ix (i ) [e ix (i )]dx
x
x
d exp ix(i ) exp[ix]dx dx
d2 （sinx cos x) (sin x cos x), sin x cos x 2 dx d2 是 2 的本征函数，本征值为 1 dx
1.17链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长 波460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模 型估算其长度
解：该分子共有4对π电子，形成离域π键，当分子 处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分 子轨道，当分子受到激发时，π电子由能级最高 的被占轨道（n=4)跃迁到能级最低的空轨道 （n=5),激发所需要的最低能量为△E=E5-E4,而与 此能量对应的吸收峰既长波460nm处的第一个强 吸收峰，按一维势箱粒子模型，可得
2
d ,i dx
解：由线性算符和线性自轭算符的定义可知：
d d x, , 2 dx dx
2
d d2 为线性算符，i dx , dx2
为线性自轭算符
f ( x), g ( x), x( f g ) xf xg
f ( x), g ( x),
f ( x), g ( x),
d df dg ( f g) dx dx dx
d2 exp ix( 2 ) exp[ix]dx dx

d2 exp[ ix]{( 2 ) exp[ ix]}* dx dx
d2 exp[ix]{( 2 ) exp[ ix]}dx dx
( ) d
1 1

*
e
ix
d ix (e i)dx dx
1 2
计算结果与按分子构型参数估算所得 结果吻合
1.17 设粒子处在0-a范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波函数
4 x 2 x ( x) sin cos a a a
表示，试估算 （1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率； （2）能量平均值 解（1）利用三角函数的性质，直接将ψ(x)展开
exp ix(i
eix (i ) e ix (i )dx
x
d d ) exp[ix]dx exp[ ix]{(i ) exp[ ix]}* dx dx dx
d2 2 , 1 exp[ix], 1* exp[ ix] dx

1* 1d
实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%
d d f d g ( f g) 2 2 2 dx dx dx
2 2 2
满足线性算符的要求，是线性算符。
i

d , 1 exp[ix], 1* exp[ ix] dx

* 1
1d
d ) exp[ix]dx dx

( ) d
1 1

*
exp ix(i
第一章 习题
1.1 将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红 光的频率、波数以及以kJ/mol为单位的能量。
解
2.998 10 8 m s 1 4.469 1014 s 1 670 .8nm c
1 1.491 10 4 cm1 670 .8 10 7 cm 1
E hN A 6.626 10 34 J s 4.469 1014 s 1 6.023 10 23 mol 1 178 .4k J mol 1
1.4 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m· -1的尘埃 s （b）动能为0.1ev的中子 （c）动能为300ev的自由电子
d2 d2 sin x 1 sin x, sin x是 2 的本征函数，本征值为 1； 2 dx dx

d2 d2 2 cos x 2 cos x,2 cos x是 2 的本征函数，本征值为 1 2 dx dx
d2 3 d2 x 6 x cx3 , x 3不是 2 的本征函数 2 dx dx
2 3x sin a a
只有2种可能的能量值：E1=h2/(8ma2),概率P1=c12=1/2
E3= 9h2/(8ma2),概率P3=c32=1/2
(2) 能量平均值为：
5h c E1 c E3 2 8ma
2 1 2 3
2
1.19 若在下一离子中运动的π电子可用一维 势箱近似表示其运动特征：
• 估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级 公式En=n2h2/8ml2，估算π电子跃迁时所 吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比 较
解：该离子共有10个π电子，当离子处于基态时，这些 电子填充在能级最低的前5个π型分子轨道上。离子受 到光的照射，π电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁 所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的能级差。 此能级差对应于吸收光谱的最大波长，应用一维势箱 粒子的能级表达式即可求出该波长
解：根据de Broglie关系式：
h 6.626 10 34 J s 22 ( a ) 10 6.626 10 m 1 mv 10 k g 0.01m s
(b)
h p
h 2mT 6.626 10 34 J s
2 1.675 10 27 k g 0.1eV 1.602 10 19 J (eV ) 1