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三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质1.三角函数中的值域及最值问题a .正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题(1)(经典题,5分)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为( ) A .-1B .-22C.22D .0答案:B解析:∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴-π4≤2x -π4≤3π4,∴函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上先增后减.∵f (0)=sin ⎝⎛⎭⎫-π4=-22, f ⎝⎛⎭⎫π2=sin ⎝⎛⎭⎫3π4=22, f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π2,∴函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为-22,故选B.变式思考:(经典题,5分)函数f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,7π24上的值域为________. 答案:⎣⎡⎦⎤-32,22 解析:∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,7π24,∴-π4≤2x -π4≤π3,∴函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,7π24上单调递增,∴函数f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,7π24上单调递减.∵f (0)=-sin ⎝⎛⎭⎫-π4=22,f ⎝⎛⎭⎫7π24=-sin π3=-32,∴函数f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,7π24上的值域为⎣⎡⎦⎤-32,22 .(2)(经典题,5分)函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π2-x ⎝⎛-π4≤x ≤⎭⎫π4且x ≠0的值域是( ) A .[-1,1]B .(-∞,-1]∪[1,+∞)C .(-∞,1)D .[-1,+∞)答案:B解析:∵y =tan ⎝⎛⎭⎫π2-x =1tan x ,且定义域关于原点对称,∴该函数为奇函数.当0<x ≤π4时,y =tan x 单调递增,∴0<tan x ≤1,∴1tan x ≥1.又∵函数y =1tan x 为奇函数,∴当-π4≤x <0时,1tan x ≤-1,∴函数y =tan (π2-x )⎝⎛⎭⎫-π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).故选B.b .利用换元法解决最值问题(3)(2017全国Ⅱ,5分)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34(x ∈[0,π2])的最大值是________.答案:1解析: f (x )=sin 2x +3cos x -34=1-cos 2x +3cos x -34=-cos 2x +3cos x + 14,设t =cos x ,∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴cos x ∈[0,1],则t ∈[0,1],∴f (t )=-t 2+3t +14=-⎝⎛⎭⎫t -322+1,t ∈[0,1],∴当t =32时,函数f (t )取得最大值1.故当cos x =32,即x =π6时,函数f (x )取得最大值1.(4)(2018河北张家口月考,5分)已知f (x )=sin x +cos x +2sin x cos x ,若∀t ∈R ,x ∈R ,a sin t +3a +1≥f (x )恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[0,+∞)B.⎣⎡⎭⎫22,+∞C.⎣⎡⎭⎫24,+∞D .[2,+∞)答案:B解析:令m =sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,则|m |≤2,2sin x cos x =m 2-1,∴sin x +cos x +2sin x cos x =m +m 2-1,设g (m )=m 2+m -1,|m |≤2,则g (m )=m 2+m -1=(m +12)2-54,∴函数g (m )在⎣⎡⎭⎫-2,-12内单调递减,在⎝⎛⎦⎤-12,2内单调递增,且g (-2)=1-2,g (2)=1+2,∴g (m )max =1+ 2.∵∀t ∈R ,x ∈R ,a sin t +3a +1≥f (x )恒成立,∴a sin t +3a +1≥1+ 2.又∵-1≤sin t ≤1,∴3+sin t >0,∴a ≥23+sin t 恒成立,∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫23+sin t max .∵当sin t =-1时,23+sin t取得最大值22,∴a ≥22.故选B.c .利用化一法解决最值问题(5)(2017全国Ⅱ,5分)函数f (x )=2cos x +sin x 的最大值为________. 答案:5解析:f (x )=2cos x +sin x =5⎝⎛⎭⎫255cos x +55sin x =5sin(x +φ),其中tan φ=2.∵-1≤sin(x +φ)≤1,∴-5≤5sin(x +φ)≤5,∴函数f (x )=2cos x +sin x 的最大值为 5.(6)(2018四川联考,5分)函数f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫x +π4+2sin(π4-x )cos ⎝⎛⎭⎫π4-x 在区间⎣⎡⎦⎤π2,3π4上的最小值是( )A .1-2B .0C .1D .2答案:A解析: f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫x +π4+2sin(π4-x )cos(π4-x )=1-cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2+sin ⎝⎛⎭⎫π2-2x =sin2x +cos2x +1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1. 当π2≤x ≤3π4时,5π4≤2x +π4≤7π4,所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2,3π4上先减后增,当2x +π4=3π2时, f (x )取得最小值,最小值为1- 2.d .利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题(7)(2018山东期末,5分)函数y =2+cos x2-cos x的最大值为( )A .1B .2C .3D .不存在 答案:C解析:(法一)将原式变形得y (2-cos x )=2+cos x ,即(y +1)cos x =2y -2,当y =-1时,等式不成立,∴y ≠-1,∴cos x =2y -2y +1.∵|cos x |≤1,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y -2y +1≤1,即|2y -2|≤|y +1|,即4y 2-8y +4≤y 2+2y +1,解得13≤y ≤3,∴函数y =2+cos x 2-cos x的最大值为3,故选C.(法二)y =2+cos x 2-cos x =-2+cos x +42-cos x =-1+42-cos x .∵-1≤cos x ≤1,∴1≤2-cos x ≤3,∴43≤42-cos x ≤4,即13≤y ≤3,∴函数y =2+cos x 2-cos x的最大值为3,故选C.e .与值域有关的参数问题(8)(2018安徽模拟,5分)若函数y =2sin ωx (ω>0)在[-π3,π4]上的最小值是-2,但最大值不是2,则ω的取值范围是________.答案:⎣⎡⎭⎫32,2解析:当x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4时,∵ω>0,∴ωx ∈⎣⎡-ωπ3,⎦⎤ωπ4,且-ωπ3<0<ωπ4.∵函数y =2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值是-2,但最大值不是2,∴根据函数y =2sin x 的图像,如图所示,可得⎩⎨⎧-3π2<-ωπ3≤-π2,0<ωπ4<π2,解得32≤ω<2,∴ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫32,2.2.三角函数的周期性、对称性、奇偶性(9)(经典题,5分)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2B .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin2x +cos2x D .y =sin x +cos x 答案:B解析:选项A 中,y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos2x ,函数的最小正周期为T =2π2=π,但函数为偶函数,故A 不满足条件;选项B 中,y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin2x ,函数的最小正周期为T =2π2=π,且函数为奇函数,故B 满足条件;选项C 中,y =sin2x +cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,函数的最小正周期为T =2π2=π,但函数不具有奇偶性,故C 不满足条件;选项D 中,y =sin x +cos x=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,函数的最小正周期为T =2π,且函数不具有奇偶性,故D 不满足条件.故选B.变式思考:(Ⅰ)(经典题,5分)函数y =⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x +π3+12的最小正周期为_____; (Ⅱ)(2019改编,10分)(ⅰ)函数f (x )=2sin2x ·1-tan 2x1+tan 2x的最小正周期为_____;(ⅱ)函数f (x )=sin x +2sin 2x1+2sin x 为________(填“奇函数”或“偶函数”或“非奇非偶函数”).答案:(Ⅰ)2π (Ⅱ)(ⅰ)π (ⅱ)非奇非偶函数解析:(Ⅰ)画出函数y =⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x +π3+12的图像,如图所示,则函数的最小正周期为T =2π.(Ⅱ)(ⅰ)函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2+k π,k ∈Z , f (x ) =2sin2x ·1-tan 2x 1+tan 2x =2sin2x ·cos2x =sin4x ,画出函数图像,如图所示,由图可知函数的最小正周期为T =π.(ⅱ)易知1+2sin x ≠0,则sin x ≠-12,∴x ≠-π6+2k π(k ∈Z )且x ≠7π6+2k π(k ∈Z ).∵函数f (x )的定义域不关于原点对称,∴函数f (x )为非奇非偶函数.(10)(2018江苏,5分)已知函数y =sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫-π2<φ<π2的图像关于直线x =π3对称,则φ的值是________.答案:-π6解析:因为函数y =sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫-π2<φ<π2的图像关于直线x =π3对称,所以2π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),所以φ=k π-π6(k ∈Z ).因为-π2<φ<π2,所以-π2<k π-π6<π2,解得-13<k <23.因为k ∈Z ,所以k =0,即φ的值是-π6.(11)(经典题,5分)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π8对称,那么a =( )A.2 B .-2 C .1 D .-1 答案:D解析:(法一)∵函数y =f (x )=sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π8对称,∴f (0)=f ⎝⎛⎭⎫-π4,即0+a =sin ⎝⎛⎭⎫-π2+a cos(-π2),即a =-1.故选D. (法二)∵y =sin2x +a cos2x =1+a 2sin(2x +φ),tan φ=a ,∴该三角函数的最小正周期T=π,T 4=π4,∴函数在x =-π8+π4处的函数值为0,∴sin2⎝⎛⎭⎫-π8+π4+a cos2⎝⎛⎭⎫-π8+π4=0,解得a =-1.故选D.(法三)y =sin2x +a cos2x =1+a 2sin(2x +φ),tan φ=a .∵函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π8对称,∴当x =-π8时,y =sin2x +a cos2x 取得最大值或最小值,∴sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫-π8+ a cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫-π8=1+a 2或sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫-π8+a cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫-π8=-1+a 2,解得a =-1.故选D.3.三角函数的单调性a .已知函数解析式求函数的单调区间(12)(2018江西期中,6分)已知函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-4cos 2x +2,求函数f (x )的单调递减区间.答案:⎣⎡⎦⎤π3+k π,5π6+k π, k ∈Z 解: f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-4cos 2x +2 =2⎝⎛⎭⎫sin2x ·32+cos2x ·12-2cos2x =3sin2x -cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6.(3分) 令π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π,k ∈Z , 解得x ∈⎣⎡⎦⎤π3+k π,5π6+k π, k ∈Z , 故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3+k π,5π6+k π, k ∈Z .(6分)变式思考:(Ⅰ)(经典题,5分)函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调递减区间为__ __. 答案:⎣⎡⎦⎤k π-π8,k π+3π8,k ∈Z 解析:∵y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x =-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4,∴y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调递减区间为函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4的单调递增区间.令2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π8≤x ≤k π+3π8,k ∈Z ,∴函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调递减区间为[k π-π8,k π+3π8],k ∈Z .(Ⅱ)(2018江苏模拟,5分)设f (x )=sin 2x -3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x +π2,则f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的单调增区间为_______.答案:⎣⎡⎦⎤0,π3 解析:∵f (x )=sin 2x -3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=sin 2x +3sin x cos x =12(1-cos2x )+32sin2x =sin(2x -π6)+12.令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6≤x ≤k π+π3,k ∈Z .当k =0时,-π6≤x ≤π3.又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴0≤x ≤π3,即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0,π3.b .已知函数的单调区间求参数(13)(2018北京海淀模拟,5分)已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π3)在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13,56B.⎣⎡⎦⎤13,76C.⎣⎡⎦⎤14,56D.⎣⎡⎦⎤14,76答案:B解析:根据题意知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的最小正周期T ≥2⎝⎛⎭⎫π-π2=π,∴T =2πω≥π,∴0<ω≤2.由2k π+π2≤ωx +π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+π6≤ωx ≤2k π+7π6,k ∈Z ,∴2k πω+π6ω≤x ≤2k πω+7π6ω,k ∈Z ,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx + π3的单调递减区间为[2k πω+π6ω,2k πω+7π6ω],k ∈Z . ∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,∴⎩⎨⎧2k πω+π6ω≤π2,2k πω+7π6ω≥π,k ∈Z ,∴4k +13≤ω≤2k +76,k ∈Z .又∵0<ω≤2,∴k =0,∴13≤ω≤76,故选B.(14)(2018福建期中,5分)将函数y =sin2x +cos2x 的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后得到f (x )的图像,若f (x )在⎝⎛⎭⎫π,5π4上单调递减,则φ的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫π8,3π8 B.⎝⎛⎭⎫π4,π2 C.⎣⎡⎦⎤π8,3π8 D.⎣⎡⎭⎫π4,π2 答案:C解析:y =sin2x +cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 将函数y =sin2x +cos2x 的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到f (x )的图像,则f (x )=2sin ⎣⎡⎦⎤2(x +φ)+π4=2sin(2x +2φ+π4). 由2k π+π2≤2x +2φ+π4≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π8-φ≤x ≤k π+5π8-φ,k ∈Z .若f (x )在⎝⎛⎭⎫π,5π4上单调递减, 则⎩⎨⎧k π+5π8-φ≥5π4,k π+π8-φ≤π,解得⎩⎨⎧φ≤k π-5π8,φ≥k π-7π8,即k π-7π8≤φ≤k π-5π8,k ∈Z .又∵0<φ<π2,∴k =1,∴π8≤φ≤3π8,即φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π8,3π8.故选C.(15)(2019改编,5分)函数f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3在区间⎣⎡⎦⎤0,a 3和⎣⎡⎦⎤2a ,7π6上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3,π2B.⎣⎡⎦⎤π6,π2C.⎣⎡⎦⎤π6,π3D.⎣⎡⎦⎤π4,3π8答案:A解析:∵函数y =cos x 的单调递增区间为[-π+2k π,2k π],k ∈Z ,∴令-π+2k π≤2x - π3≤2k π,k ∈Z ,得-π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z ,∴当k =0时,-π3≤x ≤π6;当k =1时,2π3≤x ≤7π6. ∵-π3<0<π6,∴要使函数f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3在区间⎣⎡⎦⎤0,a 3和⎣⎡⎦⎤2a ,7π6上单调递增,需使⎩⎨⎧0<a 3≤π6,2π3≤2a <7π6,解得π3≤a ≤π2,故选A.4.三角函数的性质的综合应用 (16)(经典题,5分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (2)<f (-2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)答案:A解析:依题意得22T ωωπ==π∴=,.又∵A >0,且当x =2π3时,函数f (x )取得最小值,∴2π3×2+φ=3π2+2k π,k ∈Z ,∴φ=π6+2k π,k ∈Z .又∵φ>0,∴可取φ=π6,∴函数f (x )的解析式为f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,∴f (2)=A sin ⎝⎛⎭⎫4+π6,f (0)=A sin π6=A sin ⎝⎛⎭⎫-7π6, f (-2)=A sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6.∵π<4+π6<3π2,∴f (2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且函数y =A sin x 在(-7π6,-π)上为减函数,∴0=A sin(-π)<A sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6<A sin ⎝⎛⎭⎫-7π6,即0<f (-2)<f (0),∴f (2)<f (-2)<f (0),故选A.(17)(经典题,5分)设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0),若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f (x )的最小正周期为______. 答案:π解析:设函数f (x )的最小正周期为T ,∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,∴π2-π6=π3≤T2, 即T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2=-f ⎝⎛⎭⎫π6,∴函数f (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3,0.∵f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3,且2π3-π2=π6<π3,∴函数f (x )图像的一条对称轴方程为x =12(2π3+π2)=7π12.∵(2k +1)4T =7π12-π3=π4,k ∈N ,∴T =π2k +1,k ∈N ,又∵T ≥2π3,∴令k =0,得T =π,∴函数f (x )的最小正周期为π.(18)(2016全国Ⅰ,5分)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图像的对称轴,且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,则ω的最大值为( ) A .11 B .9 C .7 D .5答案:B解析:(法一)设函数f (x )的最小正周期为T .∵x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图像的对称轴,∴(2k +1)T 4=π4-⎝⎛⎭⎫-π4=π2,k ∈N ,即(2k +1)π2ω=π2,k ∈N ,解得ω=2k +1(k ∈N ).∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,∴5π36-π18=π12≤T 2,即2π2ω≥π12,解得0<ω≤12.当ω=11时,∵x =-π4为f (x )的零点,∴-11π4+φ=k π,k ∈Z ,解得φ=11π4+k π,k ∈Z .又∵|φ|≤π2,∴φ=-π4,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫11x -π4.∵π18×11-π4<π2<5π36×11-π4,∴此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上不单调,不满足题意;当ω=9时,∵x =-π4为f (x )的零点,∴-9π4+φ=k π,k ∈Z ,解得φ=9π4+k π,k ∈Z .又∵|φ|≤π2,∴φ=π4,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫9x +π4.∵π2<π18×9+π4<5π36×9+π4=3π2,∴此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,满足题意,∴ω的最大值为9,故选B.(法二)依题意,有⎩⎨⎧ω·⎝⎛⎭⎫-π4+φ=m π,ω·π4+φ=n π+π2,(m ,n ∈Z )解得⎩⎪⎨⎪⎧ω=2(n -m )+1,φ=2(m +n )+14π.(m ,n ∈Z )又|φ|≤π2,∴m +n =0或m +n =-1.∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,∴5π36-π18=π12≤T 2, 即2π2ω≥π12,解得0<ω≤12.当m +n =0时,有⎩⎪⎨⎪⎧ω=4n +1,φ=π4,(n ∈Z )取n =2,则ω=9, f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫9x +π4,当x ∈⎝⎛⎭⎫π18,5π36时,9x +π4∈⎝⎛⎭⎫3π4,3π2,函数f (x )单调,符合题意;当m +n =-1时,有 ⎩⎪⎨⎪⎧ω=4n +3,φ=-π4,(n ∈Z )取n =2,则ω=11, f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫11x -π4,当x ∈⎝⎛⎭⎫π18,5π36时,11x -π4∈⎝⎛⎭⎫13π36,23π18,函数f (x )不单调,不符合题意.综上,ω的最大值为9.故选B.随堂普查练161.(2018山东临沂期末,12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6. (Ⅰ)求函数y =sin x 的值域;(Ⅱ)求函数y =-3cos 2x -4sin x +4的最大值和最小值. 答案: (Ⅰ)⎣⎡⎦⎤-12,1 (Ⅱ)函数的最大值为154,最小值为-13解:(Ⅰ)当x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6时,函数y =sin x 在⎣⎡⎦⎤-π6,π2上单调递增,在⎣⎡⎦⎤π2,5π6上单调递减.(2分)∵当x =-π6时,y =sin ⎝⎛⎭⎫-π6=-12;当x =5π6时,y =sin 5π6=12, ∴函数的最小值为-12.(4分)∵当x =π2时,函数取得最大值1,(5分)∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤-12,1.(6分) (Ⅱ)y =-3cos 2x -4sin x +4=3sin 2x -3-4sin x +4=3sin 2x -4sin x +1.(7分) 设t =sin x ,由(Ⅰ)知t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1, ∴ f (t )=3t 2-4t +1=3⎝⎛⎭⎫t -232-13,t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,(9分) ∴当t =23时,函数取得最小值-13.(10分)∵23-⎝⎛⎭⎫-12>1-23, ∴当t =-12时,函数取得最大值154,(11分)∴函数的最大值为154,最小值为-13.(12分)2.(2016全国Ⅱ,5分)函数f (x )=cos2x +6cos ⎝⎛⎭⎫π2-x 的最大值为( ) A .4 B .5C .6D .7答案:B解析:f (x )=cos2x +6cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =1-2sin 2x +6sin x ,设sin x =t ,则-1≤t ≤1,则g (t )= 1-2t 2+6t =-2⎝⎛⎭⎫t -322+112,-1≤t ≤1.∵二次函数g (t )=-2⎝⎛⎭⎫t -322+112图像的对称轴为 t =32,∴函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =1,即x =π2+2k π,k ∈Z 时,函数取得最大值5.故选B.3.(经典题,5分)函数y =sin x -cos x +sin x cos x ,x ∈[0,π]的值域为________. 答案:[-1,1]解析:令t =sin x -cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4,则(sin x -cos x )2=t 2,∴sin x cos x =1-t 22.∵x ∈[0,π],∴x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,∴-22≤sin ⎝⎛⎭⎫x -π4≤1,∴-1≤t ≤2,∴g (t )=t + 1-t 22,t ∈[-1,2],即g (t )=-t 22+t +12=-12(t -1)2+1,t ∈[-1,2],∴函数g (t )在[-1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减.又∵g (1)=1,g (-1)=-1,g (2)=-12+2>-1,∴函数g (t )的值域为[-1,1].4.(经典题,5分)若函数f (x )=4sin x +a cos x 的最大值为5,则常数a =______. 答案:±3解析:∵f (x )=16+a 2sin(x +φ),其中tan φ=a4,∴函数f (x )的最大值为16+a 2,∴16+a 2=5,解得a =±3.5.(2019改编,5分)已知函数f (x )=a sin x cos x -sin 2x +12的一条对称轴为x =π6, 则函数f (x )的最小值为______.答案:-1解析:∵函数f (x )=a sin x cos x -sin 2x +12的一条对称轴为x =π6,∴f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,即12= a sin π3cos π3-sin 2π3+12,即0=34a -34,解得a =3,∴f (x )=3sin x cos x -sin 2x +12=32sin2x +12cos2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,∴函数f (x )的最小值为-1.6.(2018山东月考,5分)对于函数f (x )=sin x +1sin x (0<x <π),下列结论正确的是( )A .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值C .既有最小值也有最大值D .既无最大值也无最小值答案:B解析:f (x )=sin x +1sin x =1+1sin x (0<x <π),当 0<x <π时,0<sin x ≤1,且y =sin x 先增后减,∴f (x )=1+1sin x(0<x <π)先减后增,∴函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2=2,无最大值,故选B.7.(2018湖南一模,5分)已知函数f (x )=2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值为-2,则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤-∞,-92∪[)6,+∞B. ⎝⎛⎦⎤-∞,-92∪⎣⎡⎭⎫32,+∞ C. (]-∞,-2∪[)6,+∞D. (]-∞,-2∪⎣⎡⎭⎫32,+∞ 答案:D解析:当ω>0时,-π3ω≤ωx ≤π4ω.∵-π3ω<0<π4ω,∴要使函数f (x )=2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值为-2,则-π3ω≤-π2或π4ω≥32π,解得ω≥32;当ω<0时, f (x )=2sin ωx =-2sin(-ωx ),且π3ω≤-ωx ≤-π4ω.∵π3ω<0<-π4ω,∴要使函数f (x )=-2sin(-ωx )在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值为-2,则-π4ω≥π2或π3ω≤-32π,解得ω≤-2.综上,ω的取值范围为(-∞,-2]∪⎣⎡⎭⎫32,+∞.故选D.8.(2018哈尔滨模拟,5分)设a =sin 8π11,b =cos 3π11,c =tan 3π11,则( )A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .a <c <b答案:B解析:a =sin 8π11=sin 3π11=sin 6π22,b =cos 3π11=cos ⎝⎛⎭⎫π2-5π22=sin 5π22.∵函数y =sin x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递增,且sin x <1,∴b <a <1.∵y =tan x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递增,∴c =tan 3π11>tan π4=1,∴b <a <c ,故选B.9.(2017全国Ⅲ,5分)设函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,则下列结论错误的是( ) A .f (x )的一个周期为-2πB .y =f (x )的图像关于直线x =8π3对称C .f (x +π)的一个零点为x =π6D .f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,π单调递减答案:D解析:(法一)函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3的周期为2k π,k ∈Z 且k ≠0,当k =-1时,函数的周期为-2π,A 正确;将x =8π3代入函数解析式,得f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫8π3+π3=cos3π=-1,为函数 f (x )的最小值,∴函数y =f (x )的图像关于直线x =8π3对称,B 正确; f (x +π)=cos ⎝⎛⎭⎫x +π+π3=-cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,将x =π6代入该函数解析式,得f ⎝⎛⎭⎫π6+π=-cos(π6+π3)=-cos π2=0,即x =π6是函数f (x +π)的一个零点,C 正确;当π2<x <π时,5π6<x +π3<4π3.∵5π6<π<4π3,∴此时函数f (x )不是单调函数,D 错误.(法二)画出函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3的图像,如图所示.由图可知,选项A ,B 正确; f (x +π)的图像由f (x )的图像向左平移π个单位长度得到,由图知f (x )的一个零点为7π6,所以f (x +π)对应的零点为π6,选项C 正确; f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,π上先单调递减后单调递增,D 选项错误.故选D.10.(2018江苏模拟,5分)若函数f (x )=2sin(2x +φ)(0<φ<π2)的图像过点(0,3),则函数f (x )在[0,π]上的单调减区间是______.答案:⎣⎡⎦⎤π12,7π12解析:∵函数f (x )=2sin(2x +φ)的图像过点(0,3),∴2sin φ=3,∴φ=π3+2k π或φ=2π3+2k π,k ∈Z .∵ 0<φ<π2,∴φ=π3,故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3.令π2+2k π≤2x +π3≤3π2+2k π,k ∈Z ,∴k π+π12≤x ≤k π+7π12,k ∈Z ,∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π12,k π+7π12,k ∈Z .又0≤x ≤π,∴令k =0,得π12≤x ≤7π12.故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3在[0,π]上的单调减区间为[π12,7π12].11.(经典题,5分)已知函数f (x )=2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上单调,且在该区间上的最小值为-2,则ω的值为______.答案:±2解析:(法一)∵函数f (x )=2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上单调,且在该区间上的最小值为-2,∴函数f (x )在x =-π4或x =π4处取得最小值-2.又∵f (x )=2sin ωx ∈[-2,2],∴x =-π4或x =π4是函数f (x )=2sin ωx 的图像的一条对称轴.易知函数f (x )=2sin ωx 为奇函数,∴函数f (x )=2sin ωx 的图像关于原点对称,即原点是函数f (x )=2sin ωx 的图像的一个对称中心,∴T =4⎝⎛⎭⎫π4-0=π.又∵T =2π|ω|,∴ω=±2.(法二)当ω>0时,由已知条件可知函数f (x )在区间[-π4,π4]上单调递增,如图所示,∴f (-π4)=2sin(-ωπ4)=-2,∴sin(-ωπ4)=-1,∴-ωπ4=-π2+2k π(k ∈Z ),∴ω=2-8k (k ∈Z ).∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上单调递增,∴T 2≥π4-(-π4)=π2.又∵T =2π|ω|=2πω,∴0<ω≤2,∴ω=2.同理,当ω<0时,可求得ω=-2.综上可知,ω的值为±2.12.(2019改编,5分)函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫12x -π12在区间[0,a π9]与[]2a π,4π上均单调递增,则实数a 的取值范围为_______.答案:⎣⎡⎭⎫1912,2解析:当0≤x ≤a π9时,-π12≤12x -π12≤a π18-π12,a >0.∵函数y =sin x 在⎣⎡⎦⎤-π12,π2上单调递增,∴a π18-π12≤π2,∴0<a ≤212;当2a π≤x ≤4π时,a π-π12≤12x -π12≤2π-π12,∵函数y =sin x 在⎣⎡⎦⎤3π2,2π上单调递增,∴3π2≤a π-π12<2π-π12,解得1912≤a <2.综上,a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1912,2.13.(2019改编,12分)已知函数f (x )=2a ·sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+a +b . (Ⅰ)当a =1时,求函数f (x )的单调递减区间;(Ⅱ)当a <0时, f (x )在[0,π]上的值域为[2,3],求a ,b 的值. 答案:(Ⅰ)⎣⎡⎦⎤3π4+2k π,7π4+2k π,k ∈Z(Ⅱ)a =1-2,b =3解:(Ⅰ)当a =1时, f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+1+b ,令π2+2k π≤x -π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得3π4+2k π≤x ≤7π4+2k π,k ∈Z ,(3分) ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡3π4+⎦⎤2k π,7π4+2k π,k ∈Z .(5分) (Ⅱ)当x ∈[0,π]时,x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π4先增后减,(7分) 当x -π4=-π4时,sin ⎝⎛⎭⎫x -π4=-22;当x -π4=3π4时,sin ⎝⎛⎭⎫x -π4=22,∴-22≤ sin ⎝⎛⎭⎫x -π4≤1,(8分) 又∵a <0,∴f (x )=2a ·sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+a +b 的最大值为-22·2a +a +b =b ,最小值为 2a +a +b =(2+1)a +b .(9分)又∵当a <0时,f (x )在[0,π]上的值域为[2,3],∴⎩⎨⎧b =3,(2+1)a +b =2,解得⎩⎨⎧b =3,a =1-2,∴a ,b 的值分别为1-2,3.(12分)14.(2018四川绵阳中学月考,5分)已知f (x )=A cos(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,0<φ≤π2是定义域为R 的奇函数,且当x =3时,f (x )取得最小值-3,当ω取得最小正数时,f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2017)的值为( )A.32B .-32C .1D .-1答案:B解析:∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,∴φ=π2+k π,k ∈Z .又∵0<φ≤π2,∴φ=π2,∴f (x )=A cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π2=-A sin ωx .∵当x =3时, f (x )取得最小值-3,∴A =3,且3ω=2k π+ π2,k ∈Z ,∴ω=π6+2k π3,k ∈Z ,∴ω的最小正数为π6,∴f (x )=-3sin π6x ,∴函数f (x )的最小正周期T =2ππ6=12.∵2017=168×12+1,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2017)=168×(f (1)+f (2)+f (3)+…+f (12))+f (1).∵函数f (x )的图像关于点(6,0)对称,∴f (6-x )+f (6+x )=0, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (11)+f (12)=0,又∵f (1)=-3sin π6=-32,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2017)=f (1)=-32.故选B.课后提分练16 三角函数的图像与性质A 组(巩固提升)1.(经典题,5分)设a =sin33°,b =cos55°,c =tan35°,则( ) A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 答案:C解析:a =sin33°,b =cos55°=cos(90°-35°)=sin35°.∵函数y =sin x 在[0°,90°]上单调递增,∴sin35°>sin33°,即b >a .∵c =tan35°=sin35°cos35°,0<cos35°<1,∴sin35°cos35°>sin35°,即c >b ,∴c >b >a .故选C.2.(经典题,5分)已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈R ),则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案:B解析:当f (x )为奇函数时,φ=k π+π2,k ∈Z ,∴“f (x )是奇函数”不是“φ=π2”的充分条件;当φ=π2时,f (x )=A cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π2=-A sin ωx ,该函数为奇函数,∴“f (x )是奇函数”是 “φ=π2”的必要条件.综上所述,“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件.故选B.3.(2018全国四省联考,5分)设函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,则下列结论错误的是( )A .f (x )的一个周期为2πB .f (x )的图像关于直线x =π8对称C .f (x )的一个零点为x =-π8D .f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π4上单调递减 答案:D解析:函数f (x )的最小正周期T =2π2=π,则函数f (x )的周期T ′=k π(k 为非零整数).取k =2,可得函数f (x )的一个周期为2π,选项A 正确;函数f (x )的图像的对称轴满足2x +π4=k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π2+π8(k ∈Z ).取k =0,可得f (x )的图像关于直线x =π8对称,选项B 正确;函数f (x )的零点满足2x +π4=k π(k ∈Z ),即x =k π2-π8(k ∈Z ).取k =0,可得f (x )的一个零点为x =-π8,选项C 正确;令π2+2k π≤2x +π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,则π8+k π≤x ≤5π8+k π,k ∈Z ,∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π8+k π,5π8+k π,k ∈Z .令k =0,得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π4上不单调,选项D 错误.4.(2019改编,5分)已知x 0=π3是函数f (x )=cos(2x +φ)的一个极大值点,则函数f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6,2π3B.⎝⎛⎭⎫π3,5π6 C.⎝⎛⎭⎫π2,πD.⎝⎛⎭⎫2π3,π答案:B解析:∵x 0=π3是函数f (x )=cos(2x +φ)的一个极大值点,且f (x )的最小正周期为T =2π2=π,∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡π3+k π,π3+⎦⎤π2+k π,k ∈Z ,即⎣⎡⎦⎤π3+k π,5π6+k π,k ∈Z ,故选B.5.(经典题,5分)如果函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4(||ω<3)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4,0成中心对称,那么函数f (x )的最小正周期是( )A.π2 B.2π3C .πD .2π答案:D解析:∵函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4,0成中心对称,∴2sin(π4ω+π4)=0, ∴π4ω+π4=k π,k ∈Z ,∴ω=-1+4k ,k ∈Z .又∵|ω|<3,∴令k =0,得ω=-1,∴函数f (x )的最小正周期是T =2π|ω|=2π,故选D.6.(2018全国Ⅱ,5分)若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]上是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4D .π答案:A解析:(法一)f (x )=c o s x -s in x =2⎝⎛⎭⎫22cos x -22sin x =2⎝⎛⎭⎫cos π4cos x -sin π4sin x = cos ⎝⎛⎭⎫x +π4,令2k π≤x +π4≤2k π+π,k ∈Z ,解得2k π-π4≤x ≤2k π+3π4,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递减区间为[2k π-π4,2k π+3π4],k ∈Z .由已知可得[-a ,a ]⊆⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,所以-π4≤ -a <0,即0<a ≤π4,所以a 的最大值为π4.答案为A.(法二)同方法一可得f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫x +π4,所以直线x =-π4为函数f (x )图像的一条对称轴,画出函数图像如图:可知-π4≤-a <0,解得0<a ≤π4,所以a 的最大值为π4.答案为A.7.(2018北京,5分)设函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫ωx -π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为______.答案:23解析:根据题意,可知f ⎝⎛⎭⎫π4=1,所以cos ⎝⎛⎭⎫π4ω-π6=1,所以π4ω-π6=2k π,k ∈Z ,所以 ω=23+8k ,k ∈Z .因为ω>0,所以当k =0时,ω取得最小值,ωmin =23.8.(2017天津,5分)设函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,f ⎝⎛⎭⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( )A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24D .ω=13,φ=7π24答案:A解析:(法一)∵函数的解析式为f (x )=2sin(ωx +φ)且f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,∴当x =5π8时,函数取得最大值.设函数的最小正周期为T ,∵f ⎝⎛⎭⎫11π8=0, f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,∴(2k +1)T 4=11π8-5π8,k ∈N ,解得T =3π2k +1,k ∈N .又∵f (x )的最小正周期大于2π,∴T =3π2k +1>2π,k ∈N ,即2k +1<32,k ∈N ,∴2k +1=1,∴T =3π,∴ω=2πT =23.∵f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,∴5π8×23+φ=π2+2k π,k ∈Z ,∴φ=π12+2k π,k ∈Z .又∵|φ|<π,∴φ=π12,故选A. (法二)由题意知⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2∈Z ,∴ω=43(k 2-2k 1)-23.∵T =2πω>2π,∴0<ω<1,∴0<43(k 2-2k 1)-23<1,∴12<k 2-2k 1<54.又∵k 1,k 2∈Z ,∴k 2-2k 1=1,∴ω=23,∴φ=2k 1π+112π,k 1∈Z .又由|φ|<π,得φ=π12,故选A.9.(2018广东一模,5分)已知函数f (x )=4sin ωx ·sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2+π4-2sin 2ωx ()ω>0在区间⎣⎡⎦⎤-π4,3π4上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是____. 答案:⎣⎡⎦⎤12,23解析:∵f (x )=4sin ωx ·sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2+π4-2sin 2ωx =4sin ωx ·1-cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π22-2sin 2ωx =2sin ωx (1+sin ωx )-2sin 2ωx =2sin ωx ,∴⎣⎡⎦⎤-π2ω,π2ω(ω>0)是函数f (x )含原点的递增区间.又∵函数f (x )在⎣⎡⎦⎤-π4,3π4上是增函数,∴⎣⎡⎦⎤-π2ω,π2ω⊇⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,∴⎩⎪⎨⎪⎧-π2ω≤-π4,3π4≤π2ω,ω>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤2,0<ω≤23,∴0<ω≤23.根据正弦函数的性质可知,当函数f (x )取得最大值时,ωx =2k π+π2,k ∈Z ,∴函数f (x )在x =2k πω+π2ω处取得最大值.又∵函数f (x )在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,∴0≤π2ω≤π,∴ω≥12.综上,可得ω∈⎣⎡⎦⎤12,23 .10.(经典题,14分)已知函数f (x )=A sin ()ωx +φ(A >0,ω>0,0<φ<π)在x =π12时取得最大值4,在同一周期中,在x =5π12时取得最小值-4. (Ⅰ)求函数f (x )的解析式; (Ⅱ)求函数f (x )的单调增区间. 答案:(Ⅰ) f (x )=4sin(3x +π4)(Ⅱ)⎣⎡⎦⎤2k π3-π4,2k π3 + π12,k ∈Z 解:(Ⅰ)设函数f (x )的最小正周期为T .∵函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)在x =π12时取得最大值4,在同一周期中,在x =5π12时取得最小值-4,∴A =4,且5π12-π12=T 2,∴T =2π3,(3分)∴T =2πω=2π3,∴ω=3.(5分)由f ⎝⎛⎭⎫π12=4,得sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=1,∴π4+φ=π2+2k π,k ∈Z ,∴φ=π4+2k π,k ∈Z .(7分) 又∵0<φ<π,∴φ=π4,∴f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(8分) (Ⅱ)令2k π-π2≤3x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,解得 2k π3-π4≤x ≤2k π3+π12,k ∈Z ,∴函数f (x )的单调增区间为[2k π3-π4,2k π3+π12], k ∈Z .(14分)11.(经典题,5分)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4,0对称,且在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是单调函数,则ω的值是( ) A.23B .2C.23或2D .无法确定答案:C解析:∵f (x )是偶函数,0≤φ≤π,∴φ=π2,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π2=cos ωx .∵函数f (x )的图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4,0对称,∴cos 3ωπ4=0,∴3ωπ4=π2+k π,k ∈Z ,∴ω=23+43k ,k ∈Z .∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是单调函数,∴π2-0≤T 2,即π2≤πω,∴0<ω≤2,∴令k =0,得ω=23;令 k =1,得ω=2.故选C.B 组(冲刺满分)12.(经典题,5分)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2上有两个不等的实数解x 1,x 2,则x 1+x 2=( )A.π2B.π4C.π3D.2π3答案:C解析:∵当0≤x ≤π2时,π6≤2x +π6≤7π6,∴函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6在该区间内存在对称轴.令2x +π6=π2,解得x =π6,∴函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6在该区间内的对称轴方程为x =π6.∵方程 2sin(2x +π6)=m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2上有两个不等的实数解x 1,x 2,∴x 1,x 2关于x =π6对称, ∴x 1+x 2=π6×2=π3,故选C.13.(2018辽宁模拟,5分)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立,且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫k π-π3,k π+π6,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π,k π+π2,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+2π3,k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π-π2,k π,k ∈Z 答案:C解析:∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立,∴当x =π6时,函数f (x )取得最值,∴sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ=±1,∴π3+φ=π2+k 1π,k 1∈Z ,∴φ=π6+k 1π,k 1∈Z ①.由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π),得sin(π+φ)>sin(2π+φ),即-sin φ>sin φ,∴sin φ<0,解得π+2k 2π<φ<2π+2k 2π,k 2∈Z ②.由①②得φ=-5π6+2k π,k ∈Z ,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -5π6.由2k π-π2≤2x -5π6≤2k π+π2,k ∈Z ,解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z , ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π+ π6,k π+ 2π3],k ∈Z .14.(经典题,5分)已知函数f (x )=12m cos2x +(m -2)sin x ,其中1≤m ≤2,若函数f (x )的最大值记为g (m ),则g (m )的最小值为( )A .-14B .1C .3-3D.3-1答案:D解析:函数f (x )=12m cos2x +(m -2)sin x =12m (1-2sin 2x )+(m -2)sin x =12m -m sin 2x +(m -2)sin x ,设sin x =t (|t |≤1),则h (t )=-mt 2+(m -2)t +12m ,|t |≤1.∵1≤m ≤2,∴函数h (t )=-mt 2+(m -2)t +12m 的图像开口向下,且函数图像的对称轴为t =m -22m =12-1m .∵1≤m ≤2,∴-12≤12-1m ≤0,满足|t |≤1,∴当t =m -22m 时,函数h (t )取得最大值-2m 2-(m -2)2-4m=第 21 页 共 21 页 34m +1m -1,∴g (m )=34m +1m -1,1≤m ≤2.∵34m +1m -1≥234m ·1m-1=3-1,当且仅当 34m =1m 且1≤m ≤2,即m =233时取等号,∴g (m )的最小值为3-1,故选D.15.(2016全国Ⅰ,5分)若函数f (x )=x -13sin2x +a sin x 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .[-1,1]B.⎣⎡⎦⎤-1,13C.⎣⎡⎦⎤-13,13D.⎣⎡⎦⎤-1,-13 答案:C解析:∵函数f (x )=x -13sin2x +a sin x =x -23sin x cos x +a sin x 在(-∞,+∞)上单调递增,∴f ′(x )≥0在(-∞,+∞)上恒成立.∵f ′(x )=1-23(cos 2x -sin 2x )+a cos x =-43cos 2x +a cos x +53,∴-43cos 2x +a cos x +53≥0.设cos x =t ,则-1≤t ≤1,不等式-43cos 2x +a cos x +53≥0等价于-43t 2+at +53≥0.构造函数g (t )=-43t 2+at +53,-1≤t ≤1,抛物线开口向下,要使g (t )≥0对t ∈ [-1,1]恒成立,则⎩⎨⎧g (-1)=-43-a +53≥0,g (1)=-43+a +53≥0,解得-13≤a ≤13,故选C.。

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