第二章 度量空间作业题答案提示 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。

如取则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。

注意到21122x y x z z y x z z y ⎛⎫-≤-+-≤-+- ⎪⎝⎭故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三角不等式 易证函数()1xx xϕ=+在R +上是单调增加的， 所以有()()a b a b ϕϕ+≤+,从而有1111a b a b a ba b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(⎰-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。

证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。

[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤⎪⎭⎫⎝⎛ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ⨯=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。

（1）略。

(2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈⨯，则{}1222111222122222221111112222221122222211111122222211222211(,)[(,)(,)](,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+⎡⎤⎡⎤≤+++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤≤+++⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1221n i =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑（3）111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 是什么？[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。

10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ，其中sin ,cos x t y t ==。

[0,2][0,2(,)sup sin cos sup)4t t x y t t t πππρ∈∈=-=-=11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。

设A 是离散度量空间X 的任一子集。

a A ∀∈，开球1(,){}2B a a A =⊂，故A 事开集。

同样道理，知C A 是开的，故()C C A A =又是闭集。

12．设0x 是M R ⊂的聚点，试证明0x 的任何邻域都含有M 的无限多个点。

证：略。

13．（1）若度量空间R 中的序列{}n x 是收敛的，并且有极限x ，试证明{}n x 的每个子序列{}kn x 都是收敛的，并且有同一极限。

（2）若{}n x 是Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{}kn x ，k n x x →，试证明{}n x 也是收敛的，并且有同一极限。

（1） 略（2） ε∀，N ∃，当,km n N>时，有(,)2klm n x x ερ<，(,)2klnx x ερ<（{}n x 是Cauchy 序列且knx x →）因此，当m N >时，(,)(,)(,)22klkl m m nn x x x x x x εερρρε≤+≤+=18.试证明：Cauchy 序列是有界的.证明：若{}n x 是Cauchy 序列，则存在,使得对于一切0n n >,有()0,1n nx x ρ<,因此，对于一切n ，有()()(){}00011,max 1,,,...,,n nn n n x x x x xx ρρρ-≤19.若{}n x 和{}n y 都是度量空间x 中的Cauchy 列，试证明： (),n n n x y ρρ=是收敛的。

证：根据三角不等式，有()()()()()(),,,,,,n n n n m m m m n n m m m n x y x x x y y y x x y y ρρρρρρρρ=≤++=++故，()(),,n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+ 同样有：()(),,m n n m m n x x y y ρρρρ-≤+即：()(),,0n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+→ 而R 是完备的，则{}n ρ是收敛的。

34.若X 是紧度量空间，并且M X ⊂是闭的，试证明M 也是紧的。

证明：因为X 是紧的，故M 中任一序列{}n x 有一个在n X 中收敛的子序列{}nk x 。

不妨设{}nk x x X →∈，则有x M ∈。

又因M 是闭的，所以x M ∈，因此M 是紧的。

第三章 线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是n R 上的范数 （1）11nii x x ==∑； (2)12221n i i x x =⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭∑ ; (3) max i ix x ∞=; 2121nii x x =⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭∑是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略2121nii x x =⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭∑不是范数，不满足三角不等式。

以为例，令()()1,0,0,1x y ==则1,4x y x y ==+=13.试证明（1）C 、0C 和0l 都是l ∞的线性空间，其中C 是收敛数列集；0C 是收敛数列0的数列集；0l 是只有有限个元素的数列集。

（2）0C 还是l ∞的闭子空间，从而是完备的。

（3）0l 不是l ∞的闭子空间。

证明：（2）设()12,0,...x x x C =∈，()()()12,,...n n n x x x =,使得 ()n n x x →∞→.则有任意的0ε>，N ∃使得对于一切j ，当,时有,又因为，所以当时从而有于是，故14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。

令，则，且于是，收敛但15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。

证：设{Xn }是X中任一Cauchy列，则∀k∈N，∃nk，s.t.当m，n≥nk 时，k-<2S-Smn。

而且对一切的k，可选取n1k+>nk，从而{Snk}是{Sn}的一个子列，并且令X 1=S 1n ，X k =S n -S nk ，则{S nk }是级数k X ∑的部分和序列，从而12X 12)1(1121k +=+=+-=∑∑∑∞=--∞=-X X X S S k k k k k于是k X ∑绝对收敛，故k X ∑收敛。

不妨设S nk →S ∈X ，由于{X n }是Cauchy 列，故0S n →-+-≤-S S S S S nk nk n又由于{S n }是任意的，故证明X 是完备的。

17.设（X ，1•）和（X ，2•）是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X 1*X 2在定义范数X =max{11X ，22X }后也成为赋范线性空间。

证：（1）X =0⇔11X =22X =0⇔X=（0,0）=Θ（2）X α=max{11X α，22X α}=αmax{11X ，22X }=αX （3）设X=（X 1，X 2），y=（y 1，y 2），则 }y x y x max{y x 222111++=+，y+=+≤++≤x }y ,y max{}x ,x max{}y x ,y x max{221122112222111120.（1）若•和•0是X 上任意两个等价范数，试证明（X ，•）和（X ，•0）中的Cauthy 序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价 证：设{X n }是（X ，•）中的任一Cauthy 序列，即 0>∀ε，∈∃N N ，当n ，m>N 时，ε<m n x -x由于⋅和⋅0是X 上任意两个等价范数，所以存在正数a ，b 使a •≤•0≤b • （*） 于是当n ≥m>N 时，有εb x b x m m <-≤-n 0n x x即x n 是（X ，•0）中的Cauthy 序列。

反之，若{x n }是（X ，•0）中的Cauthy 序列，则由（*）左边不等式，可证{x n }是（X ，•）中的Cauthy 序列。

（2）R n 是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20 (2)的直接证明：证明在中，范数1•、2•和∞•等价，其中11nii x x ==∑；12221()nii x x==∑；max ix i x ∞=证122maxi ix i x ≤，∴2x x ∞∞≤≤， 故2•和∞•等价。

2 由Cauchy-Schwart 不等式，得，111222221111()(1)()nnnnii i i i i i x x n x ====≤=∑∑∑∑故有 12x n x ≤ 再有 1122222111()[()]nnii i i x xx x ===≤=∑∑我们得1211x x x n≤≤ 故1•与2•等价29. 若T ：()D T Y →是可逆的线性算子，x 1,...,x n 是线性无关的，试正明1Tx ,...,n Tx 也是线性无关的.证：若存在λ1，...，λn ∈Ф且不全为零，使得 11...0n n Tx Tx λλ++=,则由于1T -存在且为线性的，故1T -()1111......0n n n n Tx Tx x Tx λλλλ++=++=,与x 1,...,x n 线性无关矛盾。