高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n nB a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题） 2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈ （1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，2*12,n n n a a a n N +=+∈ ， 设2log (1)n n b a =+.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-； （III ）若2nc n b =，求证：2≤1()nn nc c +<3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值； （2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列{}{},n n a b 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n n n b a b +成等差数列。

（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式n a ，nb 。

（Ⅱ）设1(2)n n x n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S ，证明：12n S <。

例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列{}n a 满足112a =，212016n n n a a a +=+，n N *∈(1) 求证1n na a +>(2) 求证20171a <(3) 若证1k a >，求证整数k 的最小值。

例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n na a a +=+，n N *∈ （1）若1(0)12aa a a=>+，求1210111222a a a ++⋅⋅⋅++++的值； （2）当0a >时，定义数列{}n b ，1(12)k b a k =≥，11n b +=-数,()i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++。

如果存在，求出一组(,)i j ，如果不存在，说明理由。

例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数4()415f x x =+，（Ⅰ）求方程()f x x =的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：1214n n a a a n <+++≤．例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列{}n a 满足112a =，2121n n n n a a a a +=-+n +∈N （）（1）证明：n n a a <+1；（2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，证明：1n S <.例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列{}n a 满足11a =，11n n a a n+=n +∈N （）(1) 求证：21n n a an n +=+； (2)求证：3421111....23(1)）n n a a n a +≤+++≤+例10.（2017年4月高二期中考试）数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+n +∈N （），其中1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为nS ，其中21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T (1) 求证：1n n a a +<； (2)求证：2121n n T a n +=-- (3)1n S -<<例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列{}n a 满足013a =，n a =n +∈N ），22n n n b a a =-， 其中{}n b 的前n 项和为n S ， (1) 求证：11n n a a -<<； (2)求证：()1022n S n n <<-≥例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列{}n a 的各项都是正数，121n n na a a +=+-， 其中{}n a 的前n 项和为n S ， 若数列{}n a 为递增数列求1a 的取值范围例13：（2016浙江高考样卷20题） 已知数列{}n a 满足11a =，*11()21n n a n N a +=∈+．（Ⅰ） 证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为单调递减数列； （Ⅱ） 记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明：*5()3n S n N <∈．例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列{}n a 满足112a =，2*11()n n n a a a n N +=++∈．（1） 证明：13n na a +≥； （2） 证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n s ，那么3n S <例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设n a 是方程21xx n+=的正根， 求证：(1) 1a a n n>+ (2) 11111112323123a a na n n++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+-例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列错误!未找到引用源。

满足1102a <<，nn n a a a 611+=+ （Ⅰ） 证明：2121(N )2n n a a n -+<<∈； （Ⅱ）若113a =，求证：213214||||||(N )3n n a a a a a a n ++-+-++-<∈．（本题与例13的题型一样）例17：（2016年金华市模拟）已知数列{}n a 的首项为11a =,且141n n n a a a ++=+，()*n ∈N ． （Ⅰ）求证：21212n n a a -+<<； （Ⅱ）令212n n b a -=-，12n n S b b b =+++．求证:9171896nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{}n a 满足2*11,1()n n n a a a a a n N +=-=∈.（Ⅰ）若352a =，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a =，求证：*2,)n a n n N <≥∈.例19.(2016嘉兴一模)数列{}n a 各项均为正数，112a =，且对任意的*n N ∈，有21(0)n n n a a ca c +=+>．（Ⅰ）求123111c c ca ca a ++++的值；（Ⅱ）若12016c =,是否存在*n N ∈，使得1n a >，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由． （本题就是例5，不过要判断出11,1n n a a -<>的界限）例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{}n a 满足：114()2n n na a a +=+； （Ⅰ）若34120a =，求1a 的值； （II ）若14a =，记2n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：83n S <例21（2016丽水一模20）已知数列{}n a 满足：2*12()n n a a n N +=-∈，且11(01)a a a a=+<<．（Ⅰ）证明：1n n a a +>； （Ⅱ）若不等式112123123111112na a a a a a a a a a ++++<对任意*n N ∈都成立， 求实数a 的取值范围．例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{}n a 满足22*11112,()233n n n a a a a n N +==+∈． （I ）证明：*101()n n a a n N +<<<∈；（II ）求证：*129()4n a a a n n N +++>-∈.例23. （2016宁波十校20）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.例24. (2016桐乡一模20)设函数2(),f x ax bx a b R =+∈、．若231()62x f x x --≤≤+对任意的x R ∈恒成立．数列{}n a 满足*111,()()3n n a a f a n N +==∈. （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：1132n a ≤<； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：14213n nS n ≥-+.例25.（2016大联考 20）.已知数列{}n a 满足2*11,n n a ca c n N +=+-∈，其中常数1(0,)2c ∈. (1)若21a a >，求1a 的取值范围；(2)若1(0,1)a ∈，求证：对任意*n N ∈，都有01n a <<；(3)若1(0,1)a ∈，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证：212n S n c>--.例26.（2016宁波二模）已知数列{}n a 中，11a =，212nn n a a ta +=+.（Ⅰ）若t=0,求数列{}n a 的通项公式。