1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）设T n 为数列{
}的前n 项和，求T n ；
（Ⅲ）设b n =，证明：b 1+b 2+b 3+…+b n ＜．
2. 已知数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足nS n+1﹣（n+3）S n =0， （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =4（）2，求数列{（﹣1）n
b n }的前n 项和T n ；
（Ⅲ）设C n =2n
（
﹣λ），若数列{C n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
3. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *
），且a 2=11． （1）求a 1的值；
（2）求数列{a n }的前n 项和S n ； （3）设数列{b n }满足b n =
，求证：b 1+b 2+…+b n ＜
．
4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =
．
（Ⅰ）求证{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）证明：
+…
＞﹣．
5. 已知数列{a n }，a 1=，a 2=，若数列{a n+1﹣2a n }，{2a n+1﹣a n }都是等比数列，公比分别
是q 1，q 2（q 1≠q 2）．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设S n 是数列{}的前n 项和，求证：S n ＜．
6. 已知数列{}n a 中,111,2,n n n a a a +=+=且
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S 求。
7. 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S . 8. 已知数列{},{}n n a b 满足下列条件：111,22 1.n n a a a n +=-=+
1.n n n b a a +=-（Ⅰ）求{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设1{
}n b 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，均有19.420
n S ≤< 9. 已知动直线与椭圆C: 交于P 、Q 两不同点，且△OPQ 的面积=,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得
?若存在，判断△DEG
的形状；若不存在，请说明理由.
10. 已知抛物线）＞0(2:2
p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形。
（I ）求C 的方程；（II ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ii ）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
11. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为√3
2，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E:x 2
4a 2+y 2
4b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线
y =kx +m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q .
( i )求|OQ||OP|的值；
（ii ）求△ABQ 面积的最大值.
l 22
1
32x y +=()11,x y ()22,x y OPQ S
∆22212x x +22
12y y +||||OM PQ
⋅2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
9. （I ）解：（1）当直线的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，
所以
因为
在椭圆上，
因此
①
又因为
所以
②
由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m ，将其代入，得 ，
其中
即
…………（*）
又
所以
因为点O 到直线的距离为
所以
l 2121,.x x y y ==-11(,)
P x y 22
11132x y +
=OPQ S ∆
=
11||||x y ⋅
=
11||| 1.x y =
=2222
12123,2,
x x y y +=+=l l ,y kx m =+0≠22
1
32x y +=222(23)63(2)0k x kmx m +++-=2222
3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->22
32k m +>2121222
63(2)
,,2323km m x x x x k k -+=-=+
+2
||23PQ k ==+
l d =
1
||2OPQ S PQ d ∆=
⋅
又
整理得
且符合（*）式，
此时
综上所述，
结论成立。
（II ）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I ）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I ）知
所以
=
223m k =
+OPQ S ∆=
22322,k m +=22
22
21
2
121222
63(2)
()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++222222
121212222(3)(3)4() 2.
333y y x x x x +=-+-=-+=2222
12123;2,
x x y y +=+=
l 11|||||2||2,OM x PQ y ==
=
=||||22OM PQ ⋅=
=l 123,22x x k
m +=2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m
k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=
⨯-⨯⨯+
所以
，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二： 因为
所以
即
当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得
证明：假设存在，
由（I ）得
因此D ，E ，G 只能在
这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
2222
211(3)(2)113225(
).24m m m m =-
+-++≤=5||||2OM PQ ⋅
≤
2211
32,m m m -=+=即5
.2222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=224||||10
2|||| 5.
25OM PQ OM PQ +⋅≤==5
||||,
2OM PQ ⋅
≤2||||OM PQ ==5
.
22ODE ODG OEG S S S ∆∆∆==
=
1122(,),(,),(,)ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===
满足222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
2,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从
中选取(1)±
与
矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===。