第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。

（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。

概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

（5）必须掌握特殊函数单调性① 一次函数y kx b =+：② 二次函数2y ax bx c =++：③ 反比例函数ky x =： ④ 双钩函数ky x x=+：注：①函数的多个单调区间通常不能用并集联接；②单调区间的端点只要在定义域内就要加上③增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值（1）定义：()f x 的最大值： ()f x 最大的函数值；()f x 的最小值： ()f x 最小的函数值 （2）求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1．定义:①设y=f(x)，定义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=，称y=f(x)为偶函数。

②设y=f(x) ，定义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=-，称y=f(x)为奇函数。

概括起来，即()()()()f x f x f x f x ⎧⇔⎨-=⎩定义域关于原点对称为偶函数，()()()()f x f x f x f x ⎧⇔⎨-=-⎩定义域关于原点对称为奇函数 2．函数奇偶性的判断的步骤：①求()f x 定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；若()f x 定义域关于原点对称，则判断()f x 与()f x -的关系 ②判断()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -=且()()f x f x -=-，则()f x 既是奇函数又是偶函数；若()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数 3.性质：（1）若()f x 为奇函数，则：①()()f x f x -=-；②()f x 图像关于原点对称； ③0在()f x 定义域内时有(0)0f =；④()f x 在关于原点对称的区间上单调性相同 ⑤几种特殊的奇函数y x =，3y x =，1y x=，sin y x = （2）若()f x 为偶函数，则：①()()f x f x -=；②()f x 图像关于y 轴对称③()f x 在关于原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：y x =，2y x =，cos y x =注：①若二次函数2y ax bx c =++为偶函数，则0b =；②在同一定义域内，=⨯÷奇偶奇，=±奇奇奇，=±⨯÷偶偶偶；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式()0f x =二、典例例题解析：题型一 单调性的定义例1 定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等的实数,a b 总有()()0f a f b a b->-，试判断()f x 单调性。

例 2 若()f x 在区间(,)a b 上是增函数，在区间(,)b c 上也是增函数，则函数()f x 在区间(,)(,)a b b c U 上（ ）A. 必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性 变式训练 下列说法中正确的有＿＿＿＿＿＿个①若12,x x I ∈，当12x x <时，12()()f x f x <，则()y f x =在I 上是增函数 ②函数2y x =在R 上是增函数；③函数1y x =-在定义域上是增函数；④1y x=的单调区间是(,0)(0,)-∞+∞U 题型二 单调性的证明 例1 证明函数1y x x=+在区间(0,1)上为减函数例2 证明函数()f x x =在其定义域内是减函数例3 已知函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，且()0(0)f x x <>，试判断1()()F x f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出证明过程题型三 利用单调性求函数值域和最值 例1 求下列函数的最值①()f x x =；②()f x =③()f x =④1()2f x x =+⑤()[1,)f x x =∈+∞变式如果函数()f x =()f x 的单调区间和值域例2 已知2()2(1)2f x x a x =--+在(,4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围变式 1 已知2()2(1)2f x x a x =--+的减区间是(,4]-∞，求a 的值变式2 函数f(x)= x 2 + 3x +2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （ ）A 、42,12B 、42，-14C 、12，-14D 、无最大值，最小值-14.变式3函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是 ( )A.1B.3C.5D.－1 例3 若1()2ax f x x +=+在区间(-2,)+∞上是减函数，求a 的的取值范围变式1函数()y f x =的图象如图所示：则12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调减区间是（ ）(])(])...0,1.,12A B C D⎤⎡+∞-∞+∞⎥⎣⎣⎦和和变式2、已知()()()()3141log1aa x a xf xx x-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R上的减函数，那么a的取值范围是（）()1111.0,1.0,.,.,13737A B C D⎛⎫⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎣⎭⎣⎭题型四抽象函数的单调性例1 已知函数()y f x=是(,)-∞+∞上的增函数，且(23)(56)f x f x->+，求x的取值范围变式已知函数()y f x=的定义域为[2,2]-，且()f x在区间[2,2]-上是增函数且(1)()f m f m-<，求m的取值范围例2 已知函数()y f x=在[0,)+∞上是减函数，比较3()4f与2(1)f a a-+的大小例3 已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x满足()()()xf f x f yy=-，且当1x>时()0f x<①求(1)f的值；②判定()f x的单调性；③若(3)1f=-，求()f x在[2,9]上的最小值变式已知定义在区间(0,)+∞上的增函数()f x满足()()()xf f x f yy=-，(2)1f=，解不等式1()()23f x fx-≤-例4 函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y) ＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m －2)≤3变式 已知函数()f x 定义域为R ，且对,m n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12x >-时，()0f x >① 求1()2f ②证明：()f x 在R 上为增函数题型五 函数的奇偶性概念例1 下列说法中错误的个数为（ ）①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于y 轴对称的函数是偶函数 ③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一定与y 轴相交 A.4 B.3 C.2 D.0 变式 下列判断正确的是（ ）A. 定义在R 上的函数()f x ，若(1)(1)f f -=，且(2)(2)f f -=，则()f x 是偶函数B. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则()f x 在R 上是增函数C. 定义在R 上的奇函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则在区间(0,]+∞上也是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六 函数奇、偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性（定义法）⑤ 31()f x x x =- ②()(f x x =-()f x =2()21f x x x =+-⑤()22f x x x =+--⑥()f x =1212)(-+=x x x f⑧)1lg()1lg()(x x x f ++-=例2判断下列函数奇偶性（定义法或图像法）①(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩ ②22230()0023x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩③{}()2,2,1,0,1,2f x x =∈--例3判断下列函数奇偶性（抽象函数） ①()()()F x f x f x =+- ②()()()F x f x f x =--③()()()F x f x f x =--，其中()f x 为奇函数④函数()f x 定义域为R ，并且对任意x y R ∈、均满足()()()f x y f x f y +=+，判断()f x 奇偶性，并证明。