co sF R ,jF F R yF R F iy1 1 1 7 2 1 ..3 30 .6 5 5 6
.
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s 0F 2F 3co6s 04.1k6N RyF 1si3n 0F 3si6n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符.号判定。
6
合力投影定理
RD =10 kN
.
15
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
600
C
B
150
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBCsin300P0
解得： N B C2P60K N
负号表示假设的指向与真实指向相反。
NBA
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
NBC
P
N B Ccos300N B A0
解得： N B AN B C2 3( 60)0.86652K N
.
11
例 图(a)所示体系，物块重 P = 20 kN ，不计滑轮的 自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。
解：1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
.
12
2、列出平衡方程： 由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o s 6 0 P P c o s 3 0 0
解得：
NBC74.5kN
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o n 3 0 N B A P s in 3 0 0
.
14
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： y
3、列平衡方程并求解： B
P
X = 0 P +RA cos = 0 RA = - 22.36 kN A
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
Y= 0 RA sin +RD = 0
C
x
RA
2m
D
4m
RD
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
300
D
E A
B
TBC
150150 300
TBD
TBD=G
FAB E G
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
.
16
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
讨论：α=00 α=900时，X、Y的大小
.
α为F与x轴所夹的锐角
4
y
F

y
F
Y x
X
O
讨论：力的投影与分量
可见， 力 F在垂直坐标轴 x、y上的投影分量与沿轴 分解的分力大小相等。
力 F在相互不垂直的轴 x、y'上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的
。
.
5
二、合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
RxX1X2X4X
即：
RyY1Y2Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
.
7
合力的大小： RR x2R y2 X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
作用点： 为该力系的汇交点
.
1
课前提问
从图中所示的平面汇交力系各力多边形中，判断哪 个力系是平衡的？哪个力系有合力？哪个力是合力？
F1
F2
F3 (a)
F2
F1
F2 F1
F3
F4
(b)
(c)
F4 F3
F3
F2 F1
(d)
F4
F3
F1
F4 F3
F2
F1
F2
(e)
(f.)
2
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、 力在坐标轴上的投影 二、合力投影定理 三、平面汇交力系合成的解析法 四、平面汇交力系平衡的解析条件
三、平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件
Rx X 0 R y Y 0
.
平衡方程
8
【例】 已知：
F 1 = 200 N， F 2 = 300 N， F 3
F = 250 N，求图所示平面汇交力系的合力。 4 【解】
= 100 N，
4
F ix F 1 c o s 3 0 o F 2 c o s 6 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 2 9 .3 N
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
则合力R的大小为 R R x 2 R y 24.1 1 2 6 1.6 6 25 4.4 4 k0N
合力R的方向为
tan Ry 16.65
Rx 41.16
arctanRy arctan16.65 21.79
Rx
41.16
.
10
例 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象，画受力图
解得：
NBA54.5kN
反力NBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相
反。即杆AB 实际上受拉力。
.
13
例题
如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。
B P
A
C P
2m
B RA
D
A
4m
C
D RD
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
.
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所
Fy
夹的锐角，
若已知力F在x、y轴上的投影
b
X、Y，那么力的大小及方向
就可以求得
x
b1
投影： X=Fcosα Y=-Fsinα
分力大小： FX=Fcosα FY=Fsinα