即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
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例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
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4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R

（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
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简易压榨机
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求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
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列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
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基本要求： 1 会用几何法和解析法求解力的合成与力的分解。 2 熟练计算力在坐标轴上的投影。 3 熟练利用平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形封闭） 和解析条件（平衡方程）求解平面汇交力系的平衡问题。 重点： 1 计算力在坐标轴上的投影。 2 应用汇交力系平衡的几何条件和解析条件（平衡方程） 求解平面汇交力系的平衡问题。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系 各力的作用线分布在同一平面且所 有力的作用线汇交于一点。 三力平衡为其一。
平面汇交力系是一种简单力系，是研究复杂 力系的基础。
本章研究问题：熟练掌握几何法与解析法
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§2-1 平面汇交力系合成 一、几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
R F F2 1
F1
F为力矢的模
为与x轴正向的夹角。
同理
Fy F cos F sin
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Fx、Fy 是代数量，可正可负，取决于 ，角。
§2-1 平面汇交力系合成 2. 合力投影定理 合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的 y 代数和。 y
Y1 F2 Y2 O A X1 R
F1
X2
x
x
结论:
Rx Fx R y Fy
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§2-1 平面汇交力系合成 3. 平面汇交力系合成的解析法
Rx Fx R y Fy
合力R的大小
2 2 R Rx R y ( Fx )2 ( Fy )2
arctg
Ry Rx

为合力R与x轴的夹角。
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§2-2 平面汇交力系的平衡条件
一、平面汇交力系平衡的几何条件
O
Fn
合力作用于刚体与原力系等效
FR F1 F2 F3 ....Fn Fi
i 1 n
如共线则大小、方向 取决于各分力的代数和
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§2-1 平面汇交力系合成 二、解析法 1. 力在坐标轴上的投影 矢量AB表示力F， 力F在x轴上的投影。以Fx 表示， 则
Fx F cos
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小
1、力在坐标轴上的投影为
结
X F cos
式中α为力F与x轴间的夹角，投影值为代数量。 2、平面内力的解析表达式 F=Xi+Yj 3、求平面汇交力系的合力
（1）几何法求合力。根据力多边形规则，求得合力的大 小和方向为 F F 合力作用线通过各力的汇交点。
R

（2）解析法求合力。根据合力投影定理。利用各分力在两个 正交轴上的投影的代数和，求得合力的大小和方向余弦为：
X 0
Y 0
由两个独立的平衡方程，可求得两个未知量。
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R
F2
也可用三角形法则 表示:
F2 F1
R
2
§2-1 平面汇交力系合成
多边形OABC称力多边形 力多边形与顺序无关，分力首尾相接为不封闭的力 多边形，合力矢沿相反方向连接缺口，构成力多边 形的封闭边。力多边形法则。 3 flash
§2-1 平面汇交力系合成
F1
F2 F3
F1
F2
F3 Fn
FR
O
FR
按照力多边形法则合成时，得到一自行封闭的力 多边形，说明该汇交力系的合力为零，此既为平 衡力系。 例： FLASH 平面汇交力系平衡的充分必要条件：
该力系的力多边形自行封闭，即合力为零
R F 0
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§2-2 平面汇交力系的平衡条件
二、平面汇交力系平衡的解析条件
由几何条件
2 2 R Rx R y ( Fx )2 ( Fy )2 0