立体几何专题复习-----空间角的求法（三）
（一）异面直线所成的角：
定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a //a,b //b， a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关，把a,b•所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）•为了简便，点0通常取在异面直线的一条上•
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：（0,—].
2
（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直•两条异面直线a,b垂直，记作a_b.
（4）求异面直线所成的角的方法：
法1:通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求+
（二）直线和平面所成的角
1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
2.记作：二；3 、范围：0，】1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角二
2
即直线与平面垂直；
2
当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。
3.求线面角的一般步骤：
（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线
I
面角；（3）解直角三角形。
cos^=L，sin日
l l
（三）二面角
1.二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则AOB叫做二面角〉-丨- 一：的平面角.
（2）一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是〉-丨- 1的平面角*
说明：（1）二面角的平面角范围是[0：,180打；
（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平
面互相垂直
（3）二面角的平面角的特点：
1
）角的顶点在棱上；2）角的两边分别在两个面内；3）角的边都要垂直于
二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：
①、点P在棱上一一作垂直于棱的直线（如图1）:②、点P在一个半平面一—三垂线定理法；（如图2）
③、点P在二面角内——垂面法。
（如图3）
（图1）（图2）（图3）
3.二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角；
2、证明这个角就是所求的角；
3、指出这个角就是所求的角；
4、求出此角的大小。
一“作”一一二“证”一一三“指”――四“求”（几何法作二面角的平面角）（1）观察在两个半平面内是否有与棱垂直的直线；
（2）观察两个半平面的几何特征（如：等腰三角形、正三角形等）
（3）若两个半平面内除棱以外的点P所在的第三个平面Y与其中一半平面0垂直，
则可用三垂线定理作二面角的平面角，如图所示；
（4）若能在其中一半平面内找到另一半平面的射影图形，也可用射影面积法
I
S
cos日=—求二面角的平面角；
S
【典型题型】
题型一求异面直线所成的角
例1:正方体ABC—A1B1C1D1中，
（1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB AD的中点，求AC与EF所成角的大小.
练习
1.如图,正方体ABCD- ABCD中,异面直线AB与AD所成角的余弦值为；
异面直线AB与DC所成角为
为
2•在长方体ABC- AB1CD中，已知DA=DC=，DD=3求异面直线AB与BQ所成角的余弦
值。
;异面直线AB与CG所成角
3•如图，在四棱锥P—ABCD中, PC L底面ABCD 0为AD中点,侧棱PA= PD^v2 , 底面ABCD为直角梯形，其中BC// AE）AB丄AD, AD=2AB=2BC=2,
（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
题型二求线面角
例2:如图，正方体ABCD-AiBCD中，求直线BC与平面ABC［所成角的大小。
练习1:在棱长为2的正方体ABCD- ABCD中，E是BC的中点.求直线DE与平面ABCD 所成角的B大小（用三角函数值表示）.
题型三二面角
例1 在空间四边形PABC中, . APC =90°, • APB =60°,PB二BC二AB=4,PC=#二面角P-AB-C的大小。
练习1:已知ABCD是正方形，P』平面ABCD且PA=AD=1求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。
练习2:如图正方体ABCD-AB1C1D中，棱长为1，
（1）求二面角B j - AC -D1的大小；（2）求二面角B-AQ -A的大小。
A B
练习3.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ ABC斜边
AC的中点O,若PB=AB=1 BC= 2，求二面角P-AB-C的正切值。
练习4.在直三棱柱ABC - AEG中，BB=BC=AB=4且/ABC =90° , E为CC的中 1
点，F在BB上，且BF BB1，求平面AEF与平面ABC所成的角。
4
巩固练习：
1 •正六棱柱ABCDE E A1B1C1DE1F1底面边长是1,侧棱长是,2，则这个棱柱的侧面对角线
ED与BC所成的角是（）
A. 90o B . 60o C . 45o D . 30o
2•如图S为正三角形所在平面ABC外一点，且SA= S吐SC= AB, E、F分别为SC AB 中点，贝u异面直线EF与SA所成角为（）
A. 90o
B. 60o C . 45o D
3.把正方形ABC［沿对角线AC折起，当点D到平面直
线BD和平面ABC所成角的大小为（）
A. 90o
B. 60o
C. 45o
4.PA PB PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（）
A. 1 B .乜 C.二D .二
2 3 3 2
5.已知△ ABC中, A吐2，BO 1，Z ABC= 120o，平面ABC外一点P满足P心PB
=PC= 2,则三棱锥P-ABC的体积是（）
A. *
B. 4 C $ D.二
2 3 4 6
6.PA PB PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,贝「面角A—PB--C所成角的余弦值是（）
A. 1 B .泌 C. D .亠
3 3 3 2
7.设二-MN - 是直二面角，A MN , AB 二:£ , AC 一 1：'，/BAN /CAN =45’ ,
P
A
B
贝，BAC = ___________ 。
8.__________________ 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2、飞，则侧面与底面所成的二面角等于
9在直三棱柱ABC -ABG中，AC=3 BC=4 AB=5 AA=4, D是AB勺中点。
(1)求证：AC丄BC (2)求证：AC i //平面CDB
.(3) 求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值。
10.在四棱锥P-ABCD中, PD丄平面ABCD AD丄CD,且DB平分N ADC,E为PC的中占
八、、)
AD=CD=1 DB=2 2 . (1) 证明：PA//平面BDE . (2) 证明：AC_ 平面PBD
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值。
11.四棱锥P-ABCD中, PB_平面ABCD,CD PD,底面ABCD为直角梯形，AD// BC, AB_
BC,AB=AD=PB=3点E 在棱PA上，且PE=2EA.
(1)求异面直线PA与CD所成的角。
(2)求证：PC//平面EBD
(3)求二面角A-BE-D的余弦值。