势函数与流函数间的关系：哥西－黎曼条件
流线和等势线正交 0 x x y y
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四、复位势与复速度
构造一个复函数：
w( z ) i
z x iy
虚部－流 函数
实部－速 度势函数
dW ( z ) W ( z ) i dz x x
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
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四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
运动方程 本构方程
dv 2 F p 2div ( S ) v dt 3
dv F p v v μ为常数 dt 3
4
第一节 引言
二、基本方程组
v 0
dv F p dt
P pI
初始条件：t=0时 边界条件：
2) w(z)=常数等价于流函数和速度势分别等于常数，它们分别代表
等势线和流线，且二者正交：
3) 共轭复速度沿封闭回线C的积分，其实数部分为沿该封闭回线 的速度环量，而虚数部分则为通过封闭回线C的流量。 4) 在无源无涡的单连通区域内，w(z)是单值函数。
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dw iQ d id dw dz c c c dz
d (M ) (M 0 )
M0 M
M与M0分别为流场中任意两点 4) 若研究的流动区域是单连通区域，则由于封闭回线的速度
环量
v dr grad dr 0
因此速度势函数是单值函数。
15
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
单连通区域：如果区域内任两点都可用区域内的一条曲线连接，
v u z x y
v u z x y
12
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数 对平面无旋运动：w=0
0 z
0
v u z 0 速度分量满足 x y 的关系
v ( x, y, t ) 存在势函数 ( x, y, t ) 满足：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
5
若运动无旋，则： rotv
0
存在势函数，满足：
v grad 0
代入连续性方程，得：
0
拉普拉斯方程：线性的二 阶偏微分方程
则这样的区域是连通的。如果在连通的区域内任一封闭曲线可
以不出边界的连续收缩到一点，则此连通区域称为单连通区域
球体内部－单连通
圆环内部－双连通
16
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
u v v 0 x y
u x
2 2
v y
第七章 理想不可压缩流体无旋运动
1
第一节 引言
一、不可压缩理想流体无旋运动模型 1）理想：粘性力<< 惯性力的区域，忽略粘性力作用，简化方程 例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在 研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流 物体流动。
2
第一节 引言
一、不可压缩理想流体无旋运动模型 2）不可压缩： 液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
2 2 2 2 2 0 2 x y z
6
若流体是理想不可压缩的，外力有势，且运动无旋，则运动方程
可以积分求解，得到拉格朗日积分方程：
V 2 p gz f (t ) t 2 p 0 ( ) 0 Laplace 方程和 满足的边界条件 该流动 的 V
dx dy u v
vdx udy 0
v x
u y
dx dy 0 x y
d 0
( x, y) 常数是流线
19
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q v nds vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
a ln r
a
等势线族 流线族
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w( z ) a ln z
a是实数
i
w( z) i a ln(re ) a ln r i
dw a iQ dw dz dz c c dz cz
z re
i
a a i i i iQ i d re e e dr rie i d c re cr a dr aid aid 2ai cr c Q 2a 0
0 z
9
绕无限翼展的流动(平面流动)
10
绕有限翼展的流动(三维流动)
11
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数 对平面运动：w=0
0 z
i rotv x u
j y v
k z 0
w v x 0 y z
u w y 0 z x

7
对理想不可压缩流体无旋运动，方程组和初始、边
界条件为：
0 域，忽略粘性力作用 2 2 ( ) 0 Laplace 方程和 满足的边界条件 该流动 的 V V p 2(t ) gz f V p ( ) Bernoulli方程 : V c t 压力场p t 2 t 2
N N N N0 N0 N0
N与N0分别为流场中任意两点
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第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
2) ( x, y ) 常数是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重
合：
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第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 沿曲线MM0的速度环量等于这两点处势函数的差值：
M M M
v dr udx vdy dx dy M0 M0 M 0 x y
Q vn ds vdx udy d ( N ) ( N0 )
N0 N0 N0
21
N
N
N
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds vdx udy d ( N ) ( N0 )



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w( z ) a ln z
a是实数
i
w( z) i a ln(re ) a ln r i
Q a 2 Q w( z ) ln z 2
点源 若点源不在坐标原点而在z0点，则复位势为： 点汇
第三节 理想不可压缩流体平面无旋运动 －基本流动形态及数学表达
一一对应 平面无旋运动 复位势（解析函数）
基本流动的组合
基本解析函数的叠加
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一、线性函数－均匀流
w( z ) az
a是复数
w( z) i (a1 ia2 )(x iy) (a1 x a2 y) i(a2 x a1 y)
ui vj i j x y u v x y
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第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u y
2 0 2 x y
流函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程
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四、复位势与复速度
对理想不可压缩流体平面无旋运动，考虑速度势函数与流函数：
u y
u x
v y
v x
x y x y
2 0 2 x y
速度势函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程
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三、流函数 由连续性方程：
u v v 0 x y
v x
M
( x, y, t ) 满足： 存在一个函数，
u y
称为流函数
(M ) (M 0 ) d
2
2 V p ( ) Bernoulli方程 : V c t 压力场p v grad t 2 静止固壁 0 n ( )关于 及p的边界条件 自由表面 p p , 0 无穷远 V , p p 初始条件：t t0 , V0 (r ), p p0 (r )