流体力学
——理想不可压缩流体的平面势流
内容
¾基本方程组，初始条件及边界条件
¾速度势函数及无旋运动的性质
¾平面流动及其流函
¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动
¾有势流动叠加
P=Pa , Pa为大气压强。

在直角坐标系中有
一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性
对于定常流：
则由伯努利方程
得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：
边界条件
静止固壁上
自由面上：P = Pa 无穷远处：
速度势函数及无旋运动的性质
在无旋流中有
若已知函数，则可求出
若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数
上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实
质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样
φ涉及到单值和多值问题
在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。

因而势函数为单值函数。

在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。

速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)


内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质
¾ ¾
平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加
¾ ¾


平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即
适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。

如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等


研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为
只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：
速度势函数的性质我们已经讨论过了


流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为
称为流函数


知道了流函数 •若
与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场
已知，可由
• 若 ux ，uy 已知，可用积分


速度势与流函数 平面流动
垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动
速度势函数 速度势函数存在的条件


∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y
此条件称 柯西—黎曼条件
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使
udx + vdy + wdz
全微分的充要条件，即
成为某一个函数
ϕ(x ,y ,z ,t )
d ϕ = udx + vdy + wdz


而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
比较两式有
∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z
∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z


把
ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。

故理想流体无旋流也称势流 用势函数表示速度矢量：
V = ui + v j + w k r ∂ϕ u r ∂ϕ r ∂ϕ u i + j + k = ∇ϕ = ∂x ∂y ∂z
r
r
u r
u r


势函数的性质 （1）流线与等势面垂直 证：令 ϕ(x ,y ,z ) = const 为等势面，在其上任取一微 r uu r uu r 元线段 ds ， ds 上的速度为 V ,求两者点积
u r uu r r r r r r r V ⋅ ds = (ui + v j + wk ) ⋅ (dxi + dy j + dzk )
= udx + vdy + wdz ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = dϕ
ϕ =c
V
ds
uu r
r


u r uu r 在等势面上，ϕ = c 故 dϕ = 0 即 V ⋅ ds = 0
速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等 势面垂直。

2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的 分量
∂ϕ = Vl ∂l
3）φ与Γ之间的关系
Γ AB = = =
∫A
B
udx + vdy + wdz
B
∫A
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = ϕB − ϕA
∫A d ϕ
B


由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端 点势函数的差，与曲线的形状无关 若φ函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零
Γk =
∫k
udx + vdy + wdz =
∫k
dϕ = 0
4）在不可压流体中，势函数是调和函数 由连续性方程
∂u ∂v ∂w + + = 0 ∂x ∂y ∂z 有 ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = + + = 0 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z
满足拉普拉斯方程的函数是调和函数


流函数ψ 流函数的定义 在不可压流体的平面流中，应满足
由高数知识可知，此式是使 −vdx + udy 成为某一个函 数 ψ(x ,y ) 全微分的充要条件，即
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
即
∂u ∂v = − ∂x ∂y
dψ = −vdx + udy


而
ψ(x ,y ) 的全微分又可表示为：
∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy ∂x ∂y
而
dψ = −vdx + udy
∂ψ ∂y ∂ψ v = − ∂x
极坐标
比较两式有 u =
1 ∂ψ Vr = r ∂θ ∂ψ Vθ = − ∂r
ψ
称为流函数 只要流动存在，无论是否有旋，是否为理想流体，都必定 存在流函数


流函数的特性 流函数 ψ 与流线的关系
ψ = const
的等值线是平面上一条流线
证明：由流线方程：
dx dy = u v
而
− vdx + udy = 0
即
∂ψ u = ∂y ∂ψ v = − ∂x
∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y
∴
ψ =c


故 ψ 流线
= c
时 , c 是流线方程的解，它是平面上一条
注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中 流函数ψ 与流量Q的关系
dψ = 0
B
流线
流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差
Q = ψB − ψA
V A
ψB
ψA


由此结果可知 两流线之间流量保持不变 与曲线AB的起始点无关 若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零 若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零


流函数ψ与势函数φ的关系 对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是 a:
∂ϕ ∂ψ u= = ∂x ∂y
等φ线与等ψ线垂直
∂ϕ ∂ψ v= =− ∂y ∂x
ϕ =c ψ =c
b:
前已证明，流线与等势面垂直， 而
ψ = const 的线是流线
流网
故等φ线与等ψ线垂直


在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数 对平面无旋流 将
ωz = 0
∂ψ v=− ∂x
∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y
代入
∂ψ u= ∂y
有：
∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0 2 2 ∂x ∂y
满足拉普拉斯方程，故
ψ
是调和函数


势流叠加原理ϕϕϕϕϕϕϕ∇=∇++=∇+∇+∇=2
2
1232
2
2
123()
=++123
V V V V 势函数
速度
ϕϕϕϕ=++123。