1. 几何意义 每一项都表示某一个高度：
z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；
p
是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压 强水头；
工程流体力学
v2 是流速高度，又称流速水头；
2g
z
p
H
p
，Hp是测压管水头；
p v2 z H
2g
, H称为总水头。
v12
v22
2g
2g
p1 g
z
δs
p + ¶p d s
v
¶s
p θg
O
y
ds
dz
θ
x 图4图.14 .1沿沿流线流的线伯的努伯利努方利程方程
2）流体为不可压缩流体
C
3）对于恒定流动（流动参数与t无关）
将上式沿流线积分,得
p v2
gz
2
Cl
（ Cl 称为流线常数）
工程流体力学
或
z
p
v2 2g
Cl
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。
应用理想流体伯努利方程：
pB v2 pA
2g
v2 pA pB
2g
工程流体力学
式中 是管中流体的重度。
pA pB h( Hg )
v
2g pA pB
2gh
Hg
1
29.810.06(13.6 1) 3.85m/s
（2）若水流改为油
v
2
g
h
Hg 油
1
＝
2
9.81
工程流体力学
fx
p x
fy
p yΒιβλιοθήκη fzp z这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，
且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如
果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，
那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为： du 、 dv
和 dw。于是，上式便可写成
dt dt
伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。
在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表
达成 ：
z1
p1
v12 2g
z2
p2
v22 2g
工程流体力学
倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势 流）的条件，可得到 ：
p v2 z C
p2 g
H线
H
线
p
流线
z1 0
图4.2 水头线
图4.2 水头线
z2
基线 0
工程流体力学
在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头 线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为 测压管水头线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连 线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。
工程流体力学
2. 物理意义
dt
即为静力学基本方程。
(2)对于恒定流动， v 0 。
t
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、w 、fx 、f y 、 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 fx 、f y 、f z是已
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
工程流体力学
第四章 理想流体动力学
本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原 因——力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方 程——伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究 流体和物体之间的作用力问题。
4.1 欧拉运动微分方程式
4.1.1 欧拉运动微分方程式的导出
第2章流体静力学中曾推导出流体静力学的平衡 微分方程式
2g
上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为 通用常数，在整个流场中均相等。
倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格 朗日积分式
gz p v2 f (t) 2 t
式中 是流场的速度势。 当t是常数时，f (t)对整个流场是个常数。
工程流体力学
4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义
式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。
z是单位重量流体具有的位置势能；
p
是单位重量流体具有的压强势能；
v2 是单位重量流体具有的动能；
2g
z
p
是单位重量流体具有的总势能；
z p v2 是单位重量流体具有的总机械能。
2g
伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流 线，各点单位重量流体的机械能守恒 。
t
u v w x y z
fy
y
w w w w
1 p
t
x
u
y
v
z
w
fz
z
用矢量表示为
v (v )v f 1 p
t
对于恒定流动
u v w 0 t t t
工程流体力学
上式称为流动欧拉运动微分方程式。 对于不可压缩流体： C 对于可压缩流体： f ( p,T ) 以上可通过流体的状态方程确定。
工程流体力学
【例4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流 速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 h 60mmH（g 不计损 失）。
求：（1）该管中的流速v； （2）若管中流体是密
度为0.8g/cm3的油，h 仍不 变，该点流速又为多少。
h
B v
A
图 图44..33 点 点流 流速速的的测测量量
工程流体力学
【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均 流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计 来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞， 该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻 点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一 端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度， 也可看成A点前方某一点的速度。
0.06
dt
工程流体力学
fx
du dt
p x
fy
dv dt
p y
fz
dw dt
p z
上式整理后便得到
du
dt
fx
1
p x
dv
dt
fy
1
p y
dw
dt
fz
1
p z
工程流体力学
将加速度展开成欧拉表达式
u t
u u u v u x y z
w
fx
1
p x
v v v v
1 p
4.2 伯努利方程
4.2.1 沿流线的伯努利方程
伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在 1738年首先提出。
对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可
简化成
v v
1 p
t s v fs s
引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅 为重力，且z轴向上，如图4.1所示。
工程流体力学
4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论
式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号 的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和 非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力 和压强的合力。
对于欧拉方程的物理意义讨论如下：
工程流体力学
(1)对于静止流体,dv 0 ,方程式为 f 1 p 0 ,