1. 正态分布的概念
随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，
称X 服从正态分布，
记作),(~2σμN X 。

标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22
(),()x x x ϕ-
=-∞<<+∞，分布函数
为
2
2
()t x
x e dt φ-
-∞
=。

2. 设
)
,(~2σμN X ，
则
{}x P X x μφσ-⎛⎫
≤= ⎪
⎝⎭
，
{}b a P a X b μμφφσσ--⎛⎫⎛⎫
<≤=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()x φ的数值有表可查，特别有
(0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。

3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。

4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。

若),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则
),(~2
22121σσμμ+++N Y X 。

若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则
∑∑∑===n i n
i n i i i i n
i i
i c c c c c N X
c 1
1
21221
)(,(~为常数）
，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作
），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),()
E X E Y μμ==，
2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。

设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。

6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n
i i X =∑近似服从正态
分布2(,)N n n μσ。

特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分
布，则1
n
i i X =∑服从二项分布(,)B n p ，近似服从正态分布(,)N np npq (1)q p =-,
这时1n i i P a X b φφ=⎛⎫⎛⎫⎧⎫
<≤≈-⎨⎬⎩⎭∑。

例1：分别求正态总体N （μ，σ2）在 （μ－σ，μ＋σ）；（μ－2σ，μ＋2σ）； 例2:某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N （4，0.25），质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？
()25.04，服从正态分布由于N ξ由正态分布的性质知，正态分布N （4，0.25）在(4-3×0.5，4+3×0.5) 之外取值的概率只有0.003, ()5.5,5.27.5∉而
例3：公共汽车门的高度是按照保证成年男 子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的。

如果某地成年男子的身高 （单位：厘米）。

则车门应设计为多高?
解：设公共汽车门高设计为x ，由题意P 小于1%，
)(1)(),36,175(~x P x P N <-=≥∴ηηη 也就是,01.0)6
175
(
1<--=x φ,99.06175
(
>-）x φ .98.18833.26175,99.06175(>>->-x x x 即查表得）φ故公共汽车门的高度至少应
设计为189厘米
)()
4()2(.);2()4(.);
2()4(.;1)1(2.)11(,1,3),
,(~.42Φ-Φ-Φ--ΦΦ-Φ-Φ=≤<-==D C B A P D E N ξξξσμξ则已知例
1.
若正态曲线函数为2
)1(2
21)(--
=x e
x f π
，则)(x f ( B ）
A.有最大值，也有最小值
B.有最大值，没有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.没有最大值，但有最小值
2.正态总体N(0,1)在区间（-2，-1）和（1，2）上取值的概率分别为p 1、p 2,则C A. p 1>p 2 B. p 1<p 2 C. p 1=p 2 D.不确定
3.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数)(x f 的图象，且8
)10(2
81)(--
=x e x f π
，则这
个正态总体
的均值与标准差分别是（ B ） A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
4.生产过程中的质量控制图主要依据是（ D ） A ．工艺要求 B ．生产条件要求
C ．企业标准
D ．小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理 5.如果随机变量X ～N(μ，2
σ)，且EX=3，DX=1,则P(-1<X<1)=( D ) A.0.210 B.0.003 C.0.681
D.0.0215
6.已知ξ～N(0, 2
σ)且P(-2<ξ<0)=0.4,则P(ξ>2)=( A ) A.0.1 B.0.2
C.0.3
D.0.4
7.一个随机变量如果是众多的 、 互不相干的 、 不分主次的 偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布.
NCY00001.关于正态曲线，下列说法正确的是 . ②③ ①22)(21)(σμσ
πϕ--
=
x e
x 曲线上任一点M(x 0,y 0)的纵坐标y 0表示X=x 0的概率
②
⎰
∝
-a
dx x )(ϕ表示总体取值小于a 的概率
③正态曲线在x 轴上方且与x 轴一定不相交 ④正态曲线关于x=σ对称
⑤μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中.
HK00001.某镇农民年收入服从N(500,202)(单位：元) ,求此镇农民收入在[500，520]间人数的百分比.
解析：设X 表示此镇农民的收入，
由P(500-20<X ≤500+20)=0.6826
故P(500<X ≤520)
=2
1P(500-20<X ≤500+20)=0.3413
即此镇农民收入在[500，520]间人数约为34.13％.
JY00001. 某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外. 由于圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N （4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而)5.5,5.2(7.5∉，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的.。