图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
o
x
正态分布曲线下面积的含义
101名正常成年女子血清胆固醇分布
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.0 14.5 17.0 19.5 22.0 24.5 27.0 29..1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在 (80,100)之间的考生大约有多少人？ [思路点拨]
正态 分布
―→
确定μ，σ 的值
―→
正态分布在三个特 殊区间上的概率
―→
求 解
[精解详析] ∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝ 100＝
1 2πe
－x－2σμ2 2
，x
∈(－∞，＋∞)，其中 μ 表示 均值，σ2(σ>0)表示 方差 ．通
常用 X～N(μ，σ2)表示 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线 x＝μ 对称． (2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦” ．
(8 分)
4．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的学生占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？
解 ： (1) 设 学 生 的 得 分 为 随 机 变 量 X ， X ～ N(70,102)，如图所示，则 μ＝70，σ＝10，P(70－ 10<X<70＋10)＝0.683， ∴不及格的学生的比为 12×(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占 15.85%.
3. 3个特殊结论 若 X : N (, 2 ) ,则
区间
,
2 , 2
3 , 3
取值概率
0.6826 0.9544 0.9974
通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，
μ＋3σ)外取值的概率只有
. 0.3%
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态 分布记作N(μ，σ2)．
1．已知随机变量 X 服从正态分布 N(4，σ2)，则 P(X
＞4)=
()
A.15
B.14
1
1
C.3
D.2
解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4 是该
函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝12.
答案：D
[例2] (8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一 个正态分布，即X～N(90,100)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则 EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为 其方差．
2.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线 f, (x) 在轴的上方,与x轴
不相交(即x轴是曲线的渐近线).
(2)定值性:曲线f, (x) 与x轴围成的面积为1．
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称， 曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的.
(2)因为 P(X≥5)＝P(X≤－3)， 所以 P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X≤5)] ＝12[1－P(1－4＜X≤1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954) ＝0.023.
[一点通] 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲 线的对称轴知，
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1.表示变量值（x）在【a-b】区间变量值 所占全部（总体）变量值的比例或概率 (p)。
2变量值在整个曲线下的面积为100%,或 出现的概率为1。
[例1] 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)． [思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特 殊区间上的概率值求解． [精解详析] 因为X～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ) ＝0.683.
(2)成绩在 80～90 之间的学生的比为 12[P(50< X< 90)－P(60< X< 80)] ＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5， 即成绩在 80～90 之间的学生占 13.55%.
2．如图所示，是一个正态分布密度曲 线．试根据图像写出其正态分布的 概率密度函数的解析式，并求出总 体随机变量的期望和方差．
(2 分)
(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，
即成绩 X 位于区间(70,110)内的概率为
(5 分)
(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，
∴2 000×0.683＝1 366(人)．
即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有 1 366 人．