正态分布 (Normal distribution)
正态分布பைடு நூலகம்
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
25
20
（f） 15
数 频
10
5
0 2.30～
2.90～
3.50～
4.10～
4.70～
函数图像的对称轴，∴ P(X＜4)＝P(X＞4)＝12.
答案：D
[例2] (8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一 个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在 (80,100)之间的考生大约有多少人？ [思路点拨]
f(x)＝σ
1 2π e
－?x－ 2σμ2 ?2
，x
∈(－∞，＋∞)，其中 μ 表示 均值，σ2(σ>0)表示 方差 ．通
常用 X～N(μ，σ2)表示 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线 x＝μ 对称． (2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦” ．
(2)定值性:曲线f?,? (x) 与x轴围成的面积为1．
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称， 曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的 ; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的 .
(5)最值性:当 x=μ时, f? ,? (x)取得最大值 ?
1
2?
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
(5 分)
(2)P (80< X<100) ＝P (90－ 10<X<90 ＋10)＝0.683 ，
∴2 000×0.683＝1 366(人)．
即考试成绩在 (80,100)之间的考生大约有 1 366 人．
(8 分)
4．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的学生占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几何性 : 参数 μ 和 σ
y
的统计意义:E( x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
o
x
正态分布曲线下面积的含义
1.表示变量值（x）在【a-b】区间变量值 所占全部（总体）变量值的比例或概率 (p)。
5.30～
101 名正常成年女子血清胆固醇分布
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.0 14.5 17.0 19.5 22.0 24.5 27.0 29.5 32.0
f（X）
0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X) ?
1
e?
1( 2
X?
?
?
)2
? 2?
(-? ＜X＜ ? )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1．已知随机变量 X 服从正态分布 N(4，σ2)，则 P(X
＞4)=
()
A.15
B.14
1
1
C. 3
D.2
解析：由正态分布密度函数的性质可知， μ＝4 是该
. 0.3%
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态 分布记作N(μ，σ2)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则 EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为 其方差．
2.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线 f? ,? ( x) 在轴的上方,与x轴
不相交(即x轴是曲线的渐近线).
3. 3个特殊结论 若 X : N(? ,? 2 ) ,则
区间
?? ? ? , ? ? ? ?
?? ? 2? , ? ? 2? ?
?? ? 3? , ? ? 3? ?
取值概率
0.6826 0.9544 0.9974
通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，
μ＋3σ)外取值的概率只有
解 ： (1) 设 学 生 的 得 分 为 随 机 变 量 X ， X ～ N(70,102)，如图所示，则 μ＝70，σ＝10，P(70－ 10<X<70＋10)＝0.683， ∴不及格的学生的比为 12×(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占 15.85%.
(2)成绩在 80～90 之间的学生的比为 12[P(50< X < 90)－P(60< X < 80)] ＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5， 即成绩在 80～90 之间的学生占 13.55%.
正态 确定μ，σ 正态分布在三个特
求
分布 ―→ 的值
―→ 殊区间上的概率 ―→ 解
[精解详析 ] ∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝ 100＝
(2 分)
(1)P (70< X<110) ＝P (90 － 2×10<X<90 ＋2×10) ＝0.954 ，
即成绩 X 位于区间 (70,110)内的概率为
2变量值在整个曲线下的面积为100%,或 出现的概率为1。
[例1] 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)． [思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特 殊区间上的概率值求解． [精解详析] 因为X～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ) ＝0.683.
(2)因为 P(X≥5)＝P(X≤－ 3)， 所以 P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954) ＝0.023.
[一点通] 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲 线的对称轴知，