一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。

(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

例3：画出函数21(1)12y x =-+-的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。

抛物线212y x =-经过怎样的变换可以得到抛物线21(1)12y x =-+-？抛物线21(1)12y x =-+-的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。

把抛物线212y x =-向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线21(1)12y x =-+-。

归纳：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =形状相同，位置不同。

把抛物线2y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+。

平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。

抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：（1）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下； （2）对称轴是直线x=h ； （3）顶点坐标是（h ，k ） 例4：画出216212y x x =-+的图象归纳：一般地，可以用配方法求抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的顶点与对称轴2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2bx a=-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. (2) c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. （2）a,b 同号，对称轴在y 轴左侧，反之，再y 轴右侧|x 1-x 2|=aacb 42- , 与y 轴交点为(0,c)b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根 b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0无实根b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件1.若x ＜y ＜m ﹙m 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣﹣2a ／b ＜m┗f(m)＞02.若m＜x＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0┣﹣2a／b＞m┗f(m)＞03.若x＜m＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0┣m＜﹣2a／b＜n┗f(m)＞0,f(n)＞05.若m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚，则需满足：┏f(m)＞0┣f(n)＜0┗f(p)＞06.若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＝0┗m＜﹣2a／b＜n或f(m)·f(n﹚＜0┏f(m)＝0或┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2┏f(n)＝0或┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2=2；③()2hy+axaxy=；②ky+ax=2；⑤-ahy-x=；④()k +=2.y+bxaxc图像特征如下：抛物线y=a(x-h)2+k 的图像，可以由y=ax 2得图像移动而得到。

−−−−−→−轴翻折沿x .↓当h ＜0时，向左平移错误!未找到引用源。

个单位长度， 当h ＞0时，向右平移错误!未找到引用源。

个单位长度↓当k ＞0时，向上平移错误!未找到引用源。

个单位长度 当k ＜0时，向下平移错误!未找到引用源。

个单位长度↓写成一般形式规律：在原有函数基础上“h 值正右移，负左移，k 值正上移，负下移” 七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1) y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0) (2) 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3) 抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：① 有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；② 有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

(5) 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ① 程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ② 程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③ ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6) 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A 由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：ac x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121 八、二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程c bx ax ++=20就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2) 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3) 当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根。

例5：观察函数2222,69,1y x x y x x y x x =+-=-+=-+的图象与x 轴的交点，得出一元二次方程的根。

可以看出：（1）抛物线22y x x =+-与x 轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x 去公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程220x x +-=的根是-2,1.（2）抛物线269y x x =-+与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数值是0.由此得出方程2690x x -+=有两个相等的实数根3。

（3）抛物线21y x x =-+与x 轴没有公共点，可知，方程210x x -+=没有实根。

归纳：一般地，从二次函数2y ax bx c =++的图象可知，（1）如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点，公共点的横坐标时0x ，那么当0x x =及时方程20ax bx c ++=的一个根。

（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点（240b ac ∆=-<），有一个公共点(240b ac ∆=-=)，有两个公共点(240b ac ->)。

这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根(2b x a=-)，有两个不相等的实数根(221244b b ac b b ac x x ----+-==。

九、二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来。