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高中一元二次函数总结

1.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。

(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。

2.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线,对称轴ab x 2-=,顶点坐标)44,2(2ab ac a b --(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在]2,(ab --∞上单调递减,在),2[+∞-ab上单调递增,abx 2-=时,a b ac x f 44)(2min -=;(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在]2,(ab--∞上单调递增,在),2[+∞-ab上单调递减,abx 2-=时,a b ac x f 44)(2max -=。

3.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。

4. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ,(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ;(2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5)若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根,则有0))(<(βαf f5 最值问题:二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴-b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,αβ-∞+∞(二)考点分析考点1.求二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)= -1,f(-1)= -1且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数。

法一:利用一般式 设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),由题意得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242a b ac c b a c b a 解得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2+4x+7法二:利用顶点式∵f(2)= f(-1) ∴对称轴212)1(2=-+=x 又最大值是8 ∴可设)0(8)21()(2<+-=a x a x f ,由f(2)= -1可得a= - 47448)21(4)(22++-=+--=∴x x x x f法三:由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2-ax-2a-1,又84)12(482max =---=aaa a y 即得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x 2+4x+7 例2.已知二次函数的对称轴为x=截x 轴上的弦长为4,且过点(0,1)-,求函数的解析式.解:∵二次函数的对称轴为x =数为2()(f x a x b =++,又∵()f x 截x轴上的弦长为4,∴()f x过点(2,0),()f x 又过点(0,1)-,∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩, 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴21()(22f x x =-考点2.二次函数在区间上的最值问题例1.已知函数f(x)= - x 2+2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2,求a 的值。

思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解:f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 1a<0时,121)0()(max -=∴=-==a a f x f2≤a≤1时)(25121)()(2max 舍得±==+-==a a a a f x f 30a>1时,22)1()(max =∴===a a f x f综上所述:a= - 1或a=2例2.已知y=f(x)=x 2-2x+3,当x ∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。

答案:32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时2,2,121min 2max =+=≤<y t y t 时 2,32,210min 2max =+-=≤<y t t y t 时2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时例3.已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2,求a 的值 . 分析:令sin t x =,问题就转二次函数的区间最值问题. 解:令sin t x =,[1,1]t ∈-,∴221()(2)24a y t a a =--+-+,对称轴为2a t =, (1)当112a-≤≤,即22a -≤≤时,2max 1(2)24y a a =-+=,得2a =-或3a =(舍去). (2)当12a>,即2a >时,函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增,由max 111242y a a =-+-+=,得103a =.(3)当12a<-,即2a <-时,函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减, 由max 111242y a a =---+=,得2a =-(舍去).综上可得:a 的值为2a =-或103a =.考点3.一元二次方程根的分布及取值范围 例1.已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围。

(2)若方程两根在区间(0,1)内,求m 的范围。

思维分析:一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx 2-=与区间相对位置。

解:设f(x)=x 2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图2165056)1(02)1(012)0(-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>=-<+=⇔m m f f m f(2)2121100)1(0)0(0-≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆⇔m m f f练习:方程k x x=-232在(- 1,1)上有实根,求k 的取值范围。

宜采用函数思想,求)11(23)(2<<--=x x x x f 的值域。

)25,169[-∈k 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。

例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点,求a 的取值范围. 解法一:由题知关于x的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根,设根为12,x x则120x x ≤或1212000x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩,得94a ≤≤.解法二:由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩,得94a ≤≤.二次函数 一、知识梳理: 1、二次函数的解析式:(1)一般式:)0.(2≠++=a c bx ax y(2)顶点式:)0.()(2≠+-=ayxxay其顶点为:),(yx;abacyabx44,22-=-=(3)两根式:))((21xxxxay--=)0(≠a其42≥-=∆acb,顶点横坐标221 0xx x +=2、二次函数的图象和性质:)0.()(2≠++=acbxaxxf二次函数的图象是对称轴垂直于x轴的抛物线,当0>a时开口向上,当<a时开口向下。

它的定义域:), (+∞-∞值域:当>a时为),44[2+∞-abac;当<a时为]44,(2abac--∞对称性:对称轴为ab x2-=单调性:当>a时,减区间是]2,(ab--∞,增区间是),2[+∞-ab;当<a时,减区间是),2[+∞-ab,增区间是]2,(ab--∞3、掌握二次函数)0.(2≠++=acbxaxy在闭区间[m,n]上的最值求法。

一、自我检测:1.函数422+-=bxxy为偶函数,则()A.0 >b B.0<b C.0=b D.Rb∈2、.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤++>0)x(cbxx0),x(22,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为___________.3、(04春)14、若关于x的不等式2>--aaxx的解集为),(+∞-∞,则实数a的取值范围是__________;若关于x的不等式32-≤--aaxx的解集不是空集,则实数a的取值范围是__________。

4、若cba,,成等比数列,则函数)0.(2≠++=acbxaxy的图象与x轴交点的个数是()(A) 0 (B) 1 (C)2 (D)不能确定(B)5、.若函数y义域为R,求实数m的取值范围是_______6.在函数cbxaxxf++=2)(中,若a,b,c 成等比数列且f(0)=-4,则f(x)有最________值(填“大”或“小”),且该值为________.(04北京文)8、函数82)(2+-=xxxf单调减区间是()A.[)+∞,1B.(]1,∞-、C.()1,1-D.()+∞∞-,9、若函数()2)1(22+-+=xaxxf在区间)4,(-∞上是减函数,则实数a的取值范围是()(A)3-≤a(B)2-≥a(C)5≤a(D)5≥a 10、.函数32)(2+-=mxxxf,当(]1,-∞-∈x 时是减函数,当()+∞-∈,1x 时是增函数,则)2(f =_________.(B)11、、已知函数()52+-=kx x x f 在区间(1,2)上是增函数,求f(2)的取值范围 是 _________. 10.函数32)(2--=ax x x f 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是( ) A .]1(,-∞∈aB .)2[∞+∈,aC .)2[]1(∞+-∞∈,, aD .]21[,∈a 12.函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( )A .54B .45C .43D .3413、(陕西卷)函数f(x)=11+x 2 (x ∈R)的值域是( )A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1] 14、函数)(x f =)11(3622≤≤-+-x x x 的最小值是( )A.23-B.3C.-1D.不存在15、已知二次函数()c bx x x f ++=2,且()()31f f =-,则( )(A )()()11->>f c f(B )()()11f f c >->(C )()()11f f c <-<(D )()()11-<<f c f(B)16、函数)(2cos cos R x x x y ∈-=的值域是_______________ 17、函数)2(22-<+=x x x y 的反函数是________________18、已知函数f (x)=-x ∈[-2,0],则f (x )的反函数是 ( )(07朝阳文)A .f (x)=- x ∈[0,2]B .f (xx ∈[-2,0]C.f (x)=x∈[0,2]D .f (xx ∈[-2,0]19.(安徽卷)函数y =⎩⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的反函数是Ay =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,2x x x xB .y =⎩⎨⎧<-≥0,0,2x x x xC .y =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥0,0,2x x x xD .y =⎩⎨⎧<--≥0,0,2x x x x 20、(重庆卷)设P (3,1)为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1x ff -=的图象的一个交点,则(A )25,21==b a(B )25,21-==b a (C )25,21=-=b a(D )25,21-=-=b a (B)21、关于x的方程0)2()1(22=-+-+a x a x 一根比1大,一根比1小,则有( ) A.1<<-a B.2-<a 或1>a C.12<<-aD.1-<a 或2>a(B)22.(山东卷)当(12)x ∈,时,不等式240x mx ++<恒成立,则m的取值范围是 . 二、填空23、已知函数23()23[,2]2f x ax ax =+--在上的最大值为1,求实数a 的值。

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