O１－２y x－Ｏxy－22江苏省如皋、海安联合高三期中调研考试 数学试题（文科）（满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知(1,1),(1,3)x x =+=-a b ，且⊥a b ，则x = ． 2． 设集合{}2(,)|,M x y y x x ==∈R ，集合{}(,)|2,N x y y x x ==-∈R ，则MN = ．3． 将3OM OA OB OC =--写成AM xAB y AC=+时，x ＋y= ．4． sin 21cos81sin69cos9-= ． 5． 已知函数log ()a yxb 的图象如图所示，则b a = ．6． 设11,lg lg ,lg,lg(),22a b a b M a b N P ab +>>=⋅==则M ，N ，P的大小关系为 (用<联接)．7． 若 直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 ．8． 设命题甲：{}2210a axax ++>R 的解集是；命题乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的 条件(从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选取). 定义一种运算：1*1=1，(1)13(1)n n +*=*，则1n *= ．10．过抛物线y2＝4x 的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点(点A 在x 轴上方), 若AF FB λ=,则λ= ． 11．已知函数2()1,()f x xg x x ，令()max (),()F x f x g x (max 表示最大值)，则F(x)的最小值是 ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置正确填涂．12．不等边ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线2sin sin x A y A a +=与直线2sin sin x B y C c +=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．相交但不垂直 13．与图中曲线对应的函数(定义域为[]2π,2π-)是 （ ）A ．sin y x =B ．sin y x= C ．sin y x=- D ．sin y x=-AC BD 南东北西 14．已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线F2M 的距离为（ ）A ．65B ．56C ．36D ．5615．已知函数,(),n n f n n n ⎧=⎨⎩为奇数,-为偶数, ()(1)n a f n f n =++, 则1232007a a a a ++++=（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 函数f(x)的定义域为D{}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且f(2)=1.（1）求f(4)的值；（2）如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围.17．（本题满分14分）某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？18．（本题满分14分）一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿(3；第二次观测时，如图2发现它每边中央13处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央13处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型——柯克岛. 把第1，2，3，，n 次观测到的岛的海岸线长记为123,,,,n a a a a ，试求123,,a a a 的值及an 的表达式.O Fxy lB1B219．（本题满分14分）设关于x 的不等式0x x a b --<的解集为P ．（1）当2,3a b ==时，求集合P ； （2）若1a =，且{}|1P x x =<-，求实数b 的值．20．（本题满分14分）点12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴端点，椭圆的右焦点为F ，12B B F ∆为等边三角形，点F 到椭圆右准线l 的距离为1．（1）求椭圆方程；（2）求经过点O 、F 且与右准线l 相切的圆的方程.21．（本题满分15分）数列{}n a 是公差为(0)d d >的等差数列，且214a a a 是与的等比中项，设*13521()n n S a a a a n -=++++∈N ．（1）求证21n n n S S S ++=（2）若14d =，令nn S b ，{}n b 的前n n T 项和为，是否存在整数P 、Q ，使得对任意n *∈N , 都有n P T Q <<，若存在，求出P 的最大值及Q 的最小值；若不存在，请说明理由．ACBD南 东北西2008江苏省如皋、海安联合高三期中调研考试 数学试题（文科）参考答案一、填空题（5分×11＝55分）1．212．{(1, 1), (－2, 4)} 3．－2 4．23-5．27 6．M<P<N 7．51- 8．必要不充分 9．13n - 10．322+ 11．15- 二、选择题（5分×4＝20分）12．C 13．C 14．A 15．A 三、解答题（85分） 16．（14分）（1）(4)(22)(2)(2)11 2.f f f f =⨯=+=+= ………………………5分 （2）3＝2＋1＝(4)(2)(42)(8).f f f f +=⨯= ………………………9分 因为()(0,)f x +∞在上是增函数，所以(26)3(26)(8)026837.f x f x f x x -≤⇔-≤⇔<-≤⇔<≤ ………………………13分即x 的取值范围是(]3,7. ………………………14分17．（14分）根据题意得，BC=31千米，BD=20千米， CD=21千米，∠CAB=60˚．………………2分 设∠ACD =α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得2222222120311cos 2221207CD BD BC CD BD β+-+-===-⋅⋅⨯⨯， ……5分于是243sin 1cos ββ=-．………8分 ()()sin sin 2040sin 60αββ=--=-︒4335311sin cos60cos sin 6027ββ=︒-︒=+． ………………………11分在△ACD 中，由正弦定理得53532121sin 15().sin sin 6032CD AD A α=⋅===︒千米 ………………………13分O－－1xy18．（14分）由题意知，2123441633,3343,333333a a a ⎛⎫===== ⎪⎝⎭. ………………6分313，所以第n()1133n -； …………………………………9分因为第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍， 所以第n 个图形的边数为134n -⨯. …………………………………12分因此，()1433.3n n a -= ……………………………… 14分19．（14分）（1）当2,3a b ==时，原不等式为: 230x x --<. ………………………………2分当2x ≥时， 2230x x --<，即22,230,x x x ≥⎧⎨--<⎩解得23x ≤<；……………………4分当2x <时，2230x x -+-<，即22,230,x x x <⎧⎨-+>⎩解得 2x <. …………………… 6分所以，(),3P =-∞. ………………………7分（2）方法1 当1a =时，令()f x ＝1x x -22,1,, 1.x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩ ………………………9分 作函数()f x 的图像(如图).当1x <-，()f x 的值域为(,2)-∞-，……………11分当1x ≥-，()f x 的值域为[)2,-+∞. ……………13分所以，当不等式的解集为{}|1P x x =<-时，2b =-．………………14分方法2 当1a =时，不等式为10x x b --<. ……8分若1x ≥，不等式的解集不可能是{}|1P x x =<-；……10分若1x <，不等式为(1)0x x b --<，即x2－x ＋b>0， …………………………11分 1,x <⎧⎪O Fxy lBB于是有1141b --=-，解得b ＝－2. ………………………………14 分20．（14分）1222,,B B F OF c OB b B F a ∆===因为为正三角形，，23cos30c OF e a FB ====所以. …………………………………3分准线l 的方程：2a x c =， 所以231,c a a c c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ 解之得23,3,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………6分于是3b =故椭圆方程为221123x y +=. ………………7分（2）设所求圆的圆心为D ，由(1)知椭圆的右准线方程为x ＝4， ……………………8分因为圆D 过点O ，F ，且与直线x ＝4相切，所以可设圆心()3,2D m，半径为52，于是圆D 的方程为()()2232524x y m -+-=, ……………………………………11分因为点O(0，0)在圆D 上，所以292544m +=，解得22m m ==-或, 所求圆的方程为()()22325224x y -+-=或()()22325224x y -++=. …………………14分21．（15分）（1）证明:214a a a 因为是与的等比中项，2111()(3)a d a a d +=+所以， …………………2分21d a d =于是有，因为0d >，所以1a d =.故 1(1)n a a n d nd =+-=. …………………………………………………4分 从而21211321()[(21)]22n n n n a a n d n d S a a a n d --++-=+++===. ……………………6分因为222(2)(2)n n S S n d n d n n d++=++所以+=. ……………………………………7分（2）当14d =时，224n n S n d ==，2n n n b ==. ……………………………………8分2311111232222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯, ①12n T = 231111112(1)2222n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯, ②①-②, 得211111122222n n n T n +=+++-⨯=11111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭-⋅-=111122n n n +--⋅,12(2)2n nT n ∴=-+⋅ ………………………………………11分 由于111(1)2n n n T T n ++-=+⋅0>，所以数列{}n T 是递增数列， …………………………………………13分当n=1时，n T 的最小值为12，122n T ≤<，所以，存在整数P 、Q ，使得n P T Q <<，P 的最大值为0，Q 的最小值为2． …………………………………………15分。