菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB CD=B．AC BD=C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=o 时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．A D MBCENFＡ16. 已知ABCD Y 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗？17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=o ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗？18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡ20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形？并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＢＣＤＢ23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=o ，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．AP ＥＢＱＣＭＤＮＢ26. 如图Rt △ABC 中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AD 于G ，交AB 于E ，EF BC ⊥于F ，求证：四边形AEFG 为菱形． 27.ABCDY 的对角线的垂直平分线与边AD BC ，分别交于E F ，，求证：四边形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过ABCD Y 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH ，与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ，，，． 求证：四边形EFGH 是菱形．BDGY中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，29. 如图，在ABCDBC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．16. 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，．又AD =Q ．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=o即，:⊥∴ABCD Y 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB Q ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD Q 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=Q ∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴． AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=o ∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt △ABE 中，90AOB ∠=o ，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt △AOB ≌Rt △NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，Q △ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=o ，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠o 证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF Q 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC Q ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC Q ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD．理由略．１１/ 11。