函数的单调性与导数
学习目标
1.理解函数的单调性与其导数正负的关系，利用导数判断、证明函数的单调性．
2.能利用导数求解函数的单调区间，对带有字母系数的函数单调性做出讨论．
3.能解决简单的已知函数的单调性，求解字母系数的取值范围问题．
知识梳理
函数的单调性与其导数正负的关系
在区间(a，b)内函数的单调性与导数的正负有如下关系：
导数函数的单调性
f′(x)＞0单调递增
f′(x)＜0单调递减
f′(x)＝0常数函数
[化解疑难]
对导数与单调性的关系的理解
在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)＞0.
考点例析
考点一函数与其导数图像的关系
[例1]设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数
y＝f′(x)的图象可能为以下四个选项中的()
跟踪练习1. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值
考点二 单调性的判断与证明
[例2]试证明：函数f (x )＝ln x
x 在区间(0,2)上是单调递增函数．
[类题通法]
利用导数判断函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤
(1)求f ′(x )；
(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)得出结论．
跟踪练习2. 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x e x
C ．y ＝x 3－x
D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )
考点三 利用导数求函数的单调区间
[例3]已知函数f (x )＝xsinx ＋cosx ，则f(x)在区间(－π，π)上的单调递增区间是
______________________．
跟踪训练3 . 函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1
的递增区间是 A.(－∞，e) B.(1，e) C.(e ，＋∞)
D.(e －1，＋∞)
[例4] 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a>0).试讨论f(x)的单调性.
[例5] 已知函数f (x )＝ln x －1
2ax 2－2x （a ≠0）
(1)若函数f (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围 (2)若函数f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围.
总结方法:
课堂小结(1)通过本节课学习掌握了哪些知识 (2)本节课你学习了哪些数学思想方法。