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高中数学导数及其应用.doc

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用;2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义;4、导数在研究函数单调性上的应用;5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点(一)导数1、导数的概念( 1)导数的定义(Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x 在处有增量△x (△ x 可正可负),则函数y 相应地有增量,这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率。

如果时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率),记作,即。

(Ⅱ)如果函数在开区间()内每一点都可导,则说在开区间()内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间()内的导函数(简称导数),记作或,即。

认知:(Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。

(Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲:①求函数的增量;②求平均变化率;③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

( 2)导数的几何意义:函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。

(3)函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别:(Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续;若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可导一定连续)。

事实上,若函数在点处可导,则有此时,记, 则有即在点处连续。

(Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。

反例:在点处连续,但在点处无导数。

事实上,在点处的增量当时,,;当时,,由此可知,不存在,故在点处不可导。

2、求导公式与求导运算法则( 1)基本函数的导数(求导公式)公式 1常数的导数:公式 2幂函数的导数:( c 为常数),即常数的导数等于。

0。

公式 3 正弦函数的导数:。

公式 4 余弦函数的导数:公式 5 对数函数的导数:(Ⅰ);(Ⅱ)公式 6 (Ⅰ)指数函数的导数:;(Ⅱ)。

(2)可导函数四则运算的求导法则设为可导函数,则有法则1;法则2;法则3。

3、复合函数的导数( 1)复合函数的求导法则设,复合成以x 为自变量的函数,则复合函数对自变量x 的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量u 对自变量 x 的导数,即。

引申:设,复合成函数,则有( 2)认知(Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出,由第二层中间变量的函数结构设出,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量为自变量x 的简单函数为止。

于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条:;(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。

1、函数的单调性( 1)导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数在某个区间内可导,则若为增函数;若为减函数;若在某个区间内恒有,则在这一区间上为常函数。

( 2)利用导数求函数单调性的步骤(Ⅰ)确定函数的定义域;(Ⅱ)求导数;(Ⅲ)令,解出相应的x 的范围当时,在相应区间上为增函数;当函数。

( 3)强调与认知(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域始终立足于定义域D。

若由不等式确定的x的取值集合为的取值范围为B,则应用;时在相应区间上为减D,并且解决问题的过程中A,由确定的x(Ⅱ)在某一区间内(或)是函数在这一区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。

因此方程的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。

举例:( 1)是R上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当x=0 时,。

( 2)在点x=0处连续,点x=0 处不可导,但在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增。

( 1)函数的极值的定义设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,则说是函数的一个极大值,记作;如果对附近的所有点,都有,则说是函数的一个极小值,记作。

极大值与极小值统称极值认知:由函数的极值定义可知:(Ⅰ)函数的极值点是区间内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;(Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;(Ⅲ)当函数在区间上连续且有有限个极值点时,函数在内的极大值点,极小值点交替出现。

( 2)函数的极值的判定设函数可导,且在点处连续,判定是极大(小)值的方法是(Ⅰ)如果在点附近的左侧,右侧,则为极大值;(Ⅱ)如果在点附近的左侧,右侧,则为极小值;注意:导数为0 的不一定是极值点,我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。

(3)探求函数极值的步骤:(Ⅰ)求导数;(Ⅱ)求方程的实根及不存在的点;考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则在这一点取得极大值,若左负右正,则在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值( 1)定理若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。

认知:(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

(Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。

(Ⅲ)若在开区间内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值。

( 2)探求步骤:设函数在上连续,在内可导,则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:( I)求在内的极值;( II)求在定义区间端点处的函数值,;( III)将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。

引申:若函数在上连续,则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。

对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:( I)求出的导数为0 的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);( II)计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。

(3)最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:(I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;(II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;(III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点满足,并且在点处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。

四、经典例题例 1、设函数在点处可导,且,试求(1);(2);(3);( 4)(为常数)。

解:注意到当)(1);(2)=A+A=2A(3)令,则当时,∴(4)点评:注意的增量的形式是多种多样的,但是,不论应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。

若自变量x 在处的增量为的本质,在这一定义中,自变量选择哪一种形式,相应的,则相应的x 在也必须选择相,处于是有;若令,则又有例 2、( 1)已知,求;( 2)已知,求解:( 1)令,则,且当时,。

注意到这里∴(2)∵∴①注意到,∴由已知得②∴由①、②得例 3、求下列函数的导数( 1);( 2);( 3);( 4);( 5);( 6)解:( 1)(2),∴(3),∴(4),∴( 5),∴(6)∴当时,;∴当时,∴即。

点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例 4、在曲线 C:上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C关于该点对称。

解:(1)∴当时,取得最小值-13又当时,∴斜率最小的切线对应的切点为A( 2, -12 );( 2)证明:设为曲线C上任意一点,则点P 关于点 A 的对称点Q的坐标为且有①∴将代入的解析式得,∴点坐标为方程∴注意到 P, Q的任意性,由此断定曲线 C 关于点例 5、已知曲线求证:两曲线在公共点处相切。

的解A 成中心对称。

,其中,且均为可导函数,证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,设上述两曲线的公共点为,则有,,∴,∴,∴,∴于是,对于有;①对于,有②∴由①得,由②得∴,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,∴两曲线在公共点处的切线重合∴两曲线在公共点处相切。

例 6、( 1)是否存在这样的k 值,使函数在区间(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的k 值;( 2)若恰有三个单调区间,试确定的取值范围,并求出这三个单调区间。

解:( 1)由题意,当时,当x∈(2,+ ∞) 时,∴由函数的连续性可知,即整理得解得或验证:(Ⅰ)当时,∴若,则;若,则,符合题意;(Ⅱ)当时,,显然不合题意。

于是综上可知,存在使在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。

(2)若,则,此时只有一个增区间,与题设矛盾;若,则,此时只有一个增区间,与题设矛盾;若,则并且当时,;当时,∴综合可知,当时,恰有三个单调区间:减区间;增区间点评:对于(1),由已知条件得,并由此获得k 的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例 7、已知函数,当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大 4.( 1)求常数的值;( 2)求的极值。

解:(1),令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根,故有∴,即①∴又∵仅当时取得极值,∴方程的根只有或,∴方程无实根,∴即而当时,恒成立,∴的正负情况只取决于的取值情况当 x 变化时,与的变化情况如下表:1 (1 ,+∞)+ 0 —0 +极大值极小值∴在处取得极大值,在处取得极小值。

由题意得整理得②于是将①,②联立,解得( 2)由( 1)知,点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与的关系,立足研究的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。

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