第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。

答案： 02aRε2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v vr R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。

答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。

答案：z y x e b e ax e axy ϖϖϖ+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。

答案：0nϕσε∂=-∂6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。

答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰v v的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。

答案： 34qRR πεv9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。

答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。

答案：零13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。

答案：212014()R q aR a a πε-二、 选择题1、泊松方程ερφ-=∇2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．aq q 0214πε B. aq q 0218πε C. aq q 0212πε D.aq q 02132πε答案：A4、线性介质中,电场的能量密度可表示为A. ρφ21;B.E D ϖϖ⋅21; C. ρφ D. E D ϖϖ⋅答案：B5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的A.16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1,16倍 答案： A6、电导率分别为12,σσ,电容率为12,εε的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导电介质分界面上电势的法向微商满足的关系是A ． 12n n φφ∂∂=∂∂ B.2121n nφφεεσ∂∂-=-∂∂C. 1212n nφφσσ∂∂=∂∂ D.121211n n φφσσ∂∂=∂∂ 答案：C7、电偶极子P v在外电场v e E 中的相互作用能量是A.⋅v ve P E B. -⋅v v e P E C. -e PE D. e PE三、 问答题1、 由公式014dVrρϕπε=⎰可求得电势分布，然后用ϕ=-∇vE 即可求得场的分布，这种方法有何局限性？答：这种方法适用于空间中所有的电荷分布都给定的情况，而且电荷分布在有限区域.若电荷分布无限大区域,积分将无意义.例如无限长大带电面的电势,就不能用它计算. 2、 应用''1()()8x x dV W dV rρρπε=⎰⎰计算静电场能量时，要求全空间必须充满均匀介质才成立，试说明其理由。

并与比较电场能量公式12W D EdV=⋅⎰v v与,M αv12W dv ρϕ=⎰说明区别.答：计算静电场能量公式为12W dv ρϕ=⎰，公式中的ρ是空间的自由电荷密度,而ϕ是空间的自由电荷和极化电荷共同产生的总电势,即014f pdv rρρφπε+=⎰,当全空间充满均匀介质时,0(1)p f ερρε=--，所以0p f f ερρρε+=， 0()1144f pf x dv dv rrρρρφπεπε'+''==⎰⎰，''11()()28x x dV W dv dV rρρρϕπε==⎰⎰⎰。

若ε不是均匀的，0(1)p fερρε≠--所以全空间都要充满均匀介质。

电场能量公式:12W D EdV =⋅⎰v v适用于一切电场； 而12W dv ρϕ=⎰仅适用于静电场 因为静电场由电荷分布决定，而在非恒定情况下，电场和磁场互相激发，其形式是独立于电荷分布之外的电磁波运动，因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。

3、 在静电场中=0∇⨯v E ，就一定有=0∇⨯vD 吗？答：不一定。

当介质为均匀介质时，D E ε=v v成立且ε为常量，从而=E E 0εε∇⨯∇⨯=∇⨯=v v vD 成立；当介质是线性非均匀时，D E ε=v v 成立，()x εε=v，=E E E εεε∇⨯∇⨯=∇⨯+∇⨯v v v v D ，=0∇⨯v E 时，0∇⨯≠vD ；当介质是各向异性时，i ij j D E ε=∑，ij i j e e εε=∑t vv =0∇⨯v E 时，0∇⨯≠v D . 强场作用下, ,D v vE 的关系是非线性的,,,,i ij j ijk j k ijkl j k l jj kj k lD E E E E E E εεε=∑+∑+∑+LE ϖ指向电势φ减少最快的方向。

4、 由=-ϕ∇v E 说出E ϖ的方向。

答: 由=-ϕ∇v E ,说明E ϖ的方向与电势梯度方向相反, 电势梯度方向是指向电势增加最快的方向,电场E v指向电势减小最快的方向。

5、 静电场能量公式为12vW dv ρϕ=⎰,12ρϕ能否看成是能量密度?为什么/ 答:12ρϕ不能看成是能量密度.因为积分是对有电荷分布的区域积分，而电场的能量则存在于整个空间。

6、 有两个无限大的平行导体平面,它们的法线平行于z 轴,其中一个位于z=0处,电势固定为0ϕ,另一个位于z=d 处,电势固定为d ϕ,,两平面间充满电荷,密度为20()()z z dρρ=式中0ρ为常量,如图所示,试用泊松方程求区域0z d ≤≤的电势分布和每个导体平面上电荷面密度.解:由对称性知, 电势与x,y 无关,,仅是z 的函数.故2ρϕε∇=-o化成 22220,,dd z dz d z z d ρϕεϕϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩o o o 积分得:421212d d z z d dϕϕρρϕϕεε⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭o o o o o o 电场32312d z z d E e z e z d d ϕϕρρϕεε⎛⎫-∂=-=-- ⎪∂⎝⎭o o o o o u r u r u r在Z=0面上:()0012z z z d de D E d ερσεϕϕ===⋅==---o o o o o u r u r在Z=d 面上:()4d z z d z d d de D E d ερσεϕϕ===-⋅==--o o o o u r u r7、 如果20ϕ∇=，为何不能说ϕ恒等于零？答：02=∇ϕ表示无电荷分布处的电势满足拉普拉斯方程，加上边界条件便可解得电势，无电荷分布处电势不一定为0．例如点电荷电场中，电势04q rϕπε= ，除点电荷所在处外，满足02=∇ϕ，但0ϕ≠. 8、 为什么静电势在边界处是连续的？答：在边界面两侧靠近界面处取两点1，2．相距为dl ．则⎰⋅=-=∆dl E s s ρ||12ϕϕϕ．dl Θ趋近于0，E ρ有限，⎰=⋅0l d E ρρ得：s s ||12ϕϕ＝．即：静电势在边界处连续。

9、 如果在两介质分界面上为面偶极层时，两侧电势及电势的法向微商满足何关系？答：设面偶极层电荷密度分别为+σσ-,，面偶极距密度为0lim l p l σσ→∞→=v v，面偶极层法线为n ，方向由σσ-+指向，对层点0P 及层外无限靠近层面的1P ,2P 点，应用边值关系，得20210(),()n E E n E E σσεε⋅-=⋅-=-vv()21210n E E n nϕϕ⋅-=∂∂=∂∂v二式相加，得即电势的法向微商是连续的在面偶极层上取一无限小面元 ，此面元的电偶极距为()''p x dS v，它在场点A 产生的电势为 ()''304p x rdS d r ϕπε⋅=v v()()()()()12'''30''211201144144ssP P P x rdS n P x d r n P x n P x d ϕπεπεϕϕπεπε⋅==-⋅Ω⋅-=-⋅Ω=Ω-Ω⎰⎰⎰v v v v v v v v v式中1Ω,2Ω是层面对21,P P 点所的立体角，.0,021<Ω>Ω 当21,P P 无限靠近层面时，()1212'2104n P x πϕϕεΩ-Ω=Ω+Ω=⋅-=v v 结果表明在面偶极层两侧，电势是不连续的，但电势的法向微商是连续的。

10、由唯一性定理可知，当我们求解有限或半无限区域的静电场时，区域外的电荷分布不必知道，有人由此认为区域外的电荷分布对部电场没有影响，你认为这种说法是对还是错，为什么？答:区域外的电荷分布能够影响区域边界条件，而边界条件是唯一性定理必须知道的容。

唯一性定理实质告诉我们，外部是否有电荷以及它对区域的电场的影响是可以通过边界条件来体现的11、 在闭合边界面S 上，既给定ϕ值，又给定nϕ∂∂值的情形下，泊松方程或拉普拉斯方程的解存在吗？为什么？ 12、答：由唯一性定理：在V 的边界S 上给定s |ϕ或s n|∂∂ϕ则V 电场唯一确定。

所以重要知道二者之一, 电场唯一确定.我们知道s |ϕ或s n|∂∂ϕ是用来确定通解中的常数的,因此既给定ϕ值，又给定n ϕ∂∂值的情形下,当由ϕ或n∂∂ϕ所求的电场相等时，柏松方程和拉普拉斯方程的解存在。