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函数应用、零点、二分法知识点和练习

一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.
3、函数零点的求法:

1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点:
①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x
=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .
(1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.
⑦幂函数y x α=,当0n >时,仅有一个零点0,当0n ≤时,没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把()f x 转化成()0f x =,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y (基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是
函数()f x 零点的个数。

即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点,只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续,且()()0f a f b <②在区
间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质:
从“数”的角度看:即是使0)(=x f 的实数;
从“形”的角度看:即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标;
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切,则零点0x 通常称为不变号零点;
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交,则零点0x 通常称为变号零点.
9、二分法的定义
对于在区间[a ,]b 上连续不断,且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
10、给定精确度ε,用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤:
(1)确定区间[a ,]b ,验证()()f a f b ⋅0<,给定精度ε;
(2)求区间(a ,)b 的中点1x ;
(3)计算1()f x :
①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;
②若()f a ⋅1()f x <0,则令b =1x (此时零点01(,)x a x ∈);
③若1()f x ⋅()f b <0,则令a =1x (此时零点01(,)x x b ∈);
(4)判断是否达到精度ε;即若||a b ε-<,则得到零点值a (或b );否则重复步骤(2)-(4).
11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序:
① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
③ 解模:求解数学模型,得出数学结论;
④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
例题分析
【例1】若方程243x x m -+=有4个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 . 【例2】若函数f (x )=x 2-(2a -4)x -3在[1,3]上的最小值是g (a ),求g (a )的函数表达式.
针对练习
一、选择题
1.已知函数)(x f 唯一的零点在区间(1,3)内,那么下面命题错误的( )
A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点
B 函数)(x f 在(3,5)内无零点
C 函数)(x f 在(2,5)内有零点
D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点
2. 函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为( )
A 1
B 2
C 3
D 4
3.若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( )
A. (-1,1)
B. (-2,2)
C. (-∞,-2) ∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.函数62ln )(-+=x x x f 的零点落在区间 ( )
A .(2,2.25)
B .(2.25,2.5)
C .(2.5,2.75)
D .(2.75,3)
5. 方程lgx +x =0在下列的哪个区间内有实数解( )
A.[-10,-
110] B. (,0]-∞ C.[1,10] D. 1[,1]10
6. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s
看作时间t 的函数,其图象可能是( )
7.若方程0x a x a --=有两个解,则实数a 的取值范围是( )
A 、(1,)+∞
B 、(0,1)
C 、(0,)+∞
D 、Φ
8.在下列区间中,函数
()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝
⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9.方程5x 21x =+-的解所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
10. 若关于x 的方程0)1(2=+--m x x 在]11
[,-上有解,则m 的取值范围是( ) A . ]1,45[- B. ]1,1[- C . ),4
5
[+∞- D . ]1,(-∞ 11、方程12x x +=根的个数为( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
12. 方程03)4(log 2=-+x x 的实根的个数是( )
A .1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.用“二分法”求方程x 3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x 0=2.5,那么下一个有
根的区间是
14.若方程232-=x x 的实根在区间()n m ,内,且1,,=-∈m n Z n m ,
则=+n m .
15.设y=f (x )的图象在[a,b]上连续,若满足 ,则方程f (x )=0
在[a,b]上有实根.
三、解答题
16、有一块长为20cm ,宽为12cm 的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形,然
后折成一个无盖的盒子,写出这个盒子的体积V 与边长x 的函数关系式,并讨论这个函数的定义域。

17. 设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根,且
1212,0,0x x x x ≠≠≠ ,求证:方程202
a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间。

19.已知函数()f x 的定义域为(0,+∞),且满足对任意的x >0,y >0,()()()f xy f x f y =+,(3)1f =.当x >1时,()f x >0.
(1)求(9)f 的值;(2)判断()f x 的单调性,并加以证明;(3)解不等式()(8)2f x f x +-<.
三、布置作业
1.方程34560x x -+=的根所在的区间为 ( )
A 、(3,2)--
B 、(2,1)--
C 、(1,0)-
D 、(0,1)
2.已知2()22x
f x x =-,则在下列区间中,()0f x =有实数解的是 ( )
(A)(-3,-2) (B)(-1,0) (C) (2,3) (D) (4,5)
[]()3.⇔⋅2下列说法不正确的是 ( )
A.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点
B.-x +3x+5=0有两个不同实根
C.y=f(x)在a,b 上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在a,b 内有零点
D.单调函数若有零点,则至多有一个。

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